Parabel

Parabelen er et kjeglesnitt, altså en kurve der hvert punkt har samme avstand til en gitt linje og til et gitt punkt som ikke ligger på linjen.

Hvordan ser en parabel ut

Parabelen er definert ved ett punkt F og én linje d. For alle punkter X på denne parabelen gjelder det da at de har samme avstand til dette punktet F og til linjen d. Se på figuren:

• Punktet F kalles brennpunktet til parabelen.
• Linjen d kalles styrelinjen til parabelen.
• Linjen FD kalles aksen til parabelen, den står vinkelrett på styrelinjen og går gjennom brennpunktet.
• Punktet V kalles toppunktet til parabelen og ligger i midtpunktet på linjestykket FD.
• Lengden av linjestykket FD kaller vi parameteren til parabelen. Det er avstanden fra brennpunktet til styrelinjen.

På figuren kan du også legge merke til at det virkelig gjelder at avstanden fra et punkt på parabelen til linjen og til brennpunktet alltid er den samme. For toppunktet V gjelder det for eksempel at avstanden til brennpunktet |VF| er den samme som avstanden til linjen |VD|. På samme måte gjelder det for punktet X, som er markert på figuren. Avstanden |XF| er den samme som avstanden |XE|.

Parabelen er grafen til en andregradsfunksjon.

Likningen for parabelen

For parabelen skiller vi mellom til sammen fire ulike tilfeller. Hvordan aksen til parabelen er orientert, altså om aksen er loddrett (parallell med y-aksen), som på den første figuren, eller om aksen er vannrett (parallell med x-aksen). Videre skiller vi mellom tilfellene der parabelen åpner seg oppover eller nedover, og der den åpner seg mot høyre eller mot venstre. La parabelen ha toppunktet V med koordinatene (m, n).

• Første tilfelle: Parabelen har aksen parallell med y-aksen og åpner seg oppover. For den gjelder denne likningen:

  $$(x-m{)}^2=2p(y-n)$$

  Brennpunktet har koordinatene:

  $$F(m,n+\frac{p}{2})$$

• Andre tilfelle: Parabelen har aksen parallell med y-aksen og åpner seg nedover. For den gjelder denne likningen:

  $$(x-m{)}^2=-2p(y-n)$$

  Brennpunktet har koordinatene:

  $$F(m,n-\frac{p}{2})$$

• Tredje tilfelle: Parabelen har aksen parallell med x-aksen og åpner seg mot høyre. For den gjelder denne likningen:

  $$(y-n{)}^2=2p(x-m)$$

  Brennpunktet har koordinatene:

  $$F(m+\frac{p}{2},n)$$

• Fjerde tilfelle: Parabelen har aksen parallell med x-aksen og åpner seg mot venstre. For den gjelder denne likningen:

  $$(y-n{)}^2=-2p(x-m)$$

  Brennpunktet har koordinatene:

  $$F(m-\frac{p}{2},n)$$