Parabole

La parabole est une conique, c’est-à-dire une courbe dont chaque point est à la même distance d’une droite donnée et d’un point donné qui n’appartient pas à cette droite.

À quoi ressemble une parabole

Une parabole est définie par un point F et une droite d. Pour tous les points X de cette parabole, la distance à ce point F est égale à la distance à la droite d. Regarde la figure :

• Le point F s’appelle le foyer de la parabole.
• La droite d s’appelle la directrice de la parabole.
• La droite FD s’appelle l’axe de la parabole ; elle est perpendiculaire à la directrice et passe par le foyer.
• Le point V s’appelle le sommet de la parabole et se trouve au milieu du segment [FD].
• La longueur du segment [FD] s’appelle le paramètre de la parabole. C’est la distance du foyer à la directrice.

Sur la figure, remarque aussi que la distance d’un point de la parabole à la droite et au foyer est bien toujours la même. Par exemple, pour le sommet V, la distance au foyer VF est égale à la distance à la droite VD. Il en est de même pour le point X marqué sur la figure : la distance XF est égale à la distance XE.

La parabole est la courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré.

Équation de la parabole

Pour la parabole, on distingue quatre cas différents. Il faut savoir comment est orienté l’axe de la parabole, c’est-à-dire s’il est vertical (parallèle à l’axe y), comme sur la première figure, ou horizontal (parallèle à l’axe x). On distingue ensuite si la parabole est ouverte vers le haut ou vers le bas, ou bien vers la droite ou vers la gauche. Supposons que la parabole ait pour sommet V de coordonnées (m ; n).

• Premier cas : La parabole a un axe parallèle à l’axe y et elle est ouverte vers le haut. Elle a pour équation :

  $$(x-m{)}^2=2p(y-n)$$

  Le foyer a pour coordonnées :

  $$F(m;n+\frac{p}{2})$$

• Deuxième cas : La parabole a un axe parallèle à l’axe y et elle est ouverte vers le bas. Elle a pour équation :

  $$(x-m{)}^2=-2p(y-n)$$

  Le foyer a pour coordonnées :

  $$F(m;n-\frac{p}{2})$$

• Troisième cas : La parabole a un axe parallèle à l’axe x et elle est ouverte vers la droite. Elle a pour équation :

  $$(y-n{)}^2=2p(x-m)$$

  Le foyer a pour coordonnées :

  $$F(m+\frac{p}{2};n)$$

• Quatrième cas : La parabole a un axe parallèle à l’axe x et elle est ouverte vers la gauche. Elle a pour équation :

  $$(y-n{)}^2=-2p(x-m)$$

  Le foyer a pour coordonnées :

  $$F(m-\frac{p}{2};n)$$