Parabel

Parablen er et keglesnit, dvs. en kurve, hvor hvert punkt har samme afstand til en given linje og til et givet punkt, som ikke ligger på linjen.

Hvordan en parabel ser ud

Parablen er defineret ved ét punkt F og én linje d. For alle punkter X på parablen gælder, at de har samme afstand til punktet F og til linjen d. Se på figuren:

• Punktet F kaldes parablens brændpunkt.
• Linjen d kaldes parablens ledelinje.
• Linjen FD kaldes parablens akse, den er vinkelret på ledelinjen og går gennem brændpunktet.
• Punktet V kaldes parablens toppunkt og ligger midt på linjestykket FD.
• Længden af linjestykket FD kalder vi parablens parameter. Det er afstanden fra brændpunktet til ledelinjen.

På figuren kan du også se, at afstanden fra et punkt på parablen til linjen og til brændpunktet virkelig altid er den samme. For eksempel gælder for toppunktet V, at afstanden til brændpunktet |VF| er den samme som afstanden til linjen |VD|. Det gælder på samme måde for punktet X, som er markeret på figuren. Afstanden |XF| er den samme som afstanden |XE|.

Parablen er grafen for et andengradspolynomium.

Parablens ligning

For parablen skelner vi mellem i alt fire forskellige tilfælde. Det afhænger af, hvordan parablens akse vender, dvs. om aksen er lodret (parallel med y-aksen), som på den første figur, eller om aksen er vandret (parallel med x-aksen). Desuden skelner vi mellem tilfældet, hvor parablen er afgrænset nedad eller opad, og »mod venstre« eller »mod højre«. Lad parablen have toppunkt V med koordinaterne (m, n).

• Første tilfælde: Parablen har en akse parallel med y-aksen og er afgrænset nedad. For den gælder denne ligning:

  $$(x-m{)}^2=2p(y-n)$$

  Brændpunktet har koordinaterne:

  $$F(m,n+\frac{p}{2})$$

• Andet tilfælde: Parablen har en akse parallel med y-aksen og er afgrænset opad. For den gælder denne ligning:

  $$(x-m{)}^2=-2p(y-n)$$

  Brændpunktet har koordinaterne:

  $$F(m,n-\frac{p}{2})$$

• Tredje tilfælde: Parablen har en akse parallel med x-aksen og er afgrænset »mod venstre«. For den gælder denne ligning:

  $$(y-n{)}^2=2p(x-m)$$

  Brændpunktet har koordinaterne:

  $$F(m+\frac{p}{2},n)$$

• Fjerde tilfælde: Parablen har en akse parallel med x-aksen og er afgrænset »mod højre«. For den gælder denne ligning:

  $$(y-n{)}^2=-2p(x-m)$$

  Brændpunktet har koordinaterne:

  $$F(m-\frac{p}{2},n)$$