直角三角形の相似から得られる関係（ユークリッドの定理）

古代アレクサンドリアの数学者ユークリッド（エウクレイデス）は、三角形について2つの定理をまとめました。高さについての定理と、直角をはさむ辺についての定理です。ヨーロッパの一部の国ではユークリッドの定理と呼ばれますが、日本の教科書では名前をつけず、直角三角形の相似から得られる関係として学びます。

高さについての関係

この関係は、直角三角形でしか成り立ちません。基本の図を見てみましょう。

三角形 ABC があり、辺 c が斜辺、線分 h_c が辺 c を底辺としたときの高さです。点 P_c は辺 c を2つの線分に分けます。線分 AP_c を c_b、線分 BP_c を c_a とします。

高さについての関係は次のとおりです。

$$h_c^2=c_a\cdot c_b,$$

ここで h_c は線分 h_c の長さを表します（ほかも同じです）。言いかえると、1辺の長さが h_c の正方形と、2辺の長さが c_a と c_b の長方形をつくると、2つの図形の面積は等しくなります。次の図には、そのような正方形と長方形が示してあります。

高さについての関係によると、これらの図形の面積は等しくなります。赤い正方形の1辺の長さは h_c、緑の長方形の1辺の長さは c_a、もう1辺の長さは c_b です。

この関係は、三角形の相似を使って証明できます。

直角をはさむ辺についての関係

この2つ目の関係も、直角三角形で成り立ちます。最初の三角形の図にもどりましょう。

2つ目の関係は次のとおりです。

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& c\cdot c_a\\ b^2& =& c\cdot c_b\end{array}$$

1辺の長さが a の正方形をつくると、その正方形の面積は、2辺の長さが c と c_a の長方形の面積と等しくなります。この正方形と長方形も図で見てみましょう。

この関係も、三角形の相似を使って証明できます。