Parábola

La parábola es una cónica, es decir, una curva en la que todos los puntos están a la misma distancia de una recta dada y de un punto dado que no pertenece a esa recta.

Qué aspecto tiene la parábola

La parábola está definida por un punto F y una recta d. Para todos los puntos X de esa parábola se cumple entonces que están a la misma distancia del punto F y de la recta d. Observa la figura:

• El punto F se llama foco de la parábola.
• La recta d se llama directriz de la parábola.
• La recta FD se llama eje de la parábola; es perpendicular a la directriz y pasa por el foco.
• El punto V se llama vértice de la parábola y se encuentra en el punto medio del segmento FD.
• A la longitud del segmento FD la llamamos parámetro de la parábola. Es la distancia del foco a la directriz.

En la figura fíjate también en que, efectivamente, la distancia de un punto de la parábola a la recta y al foco es siempre la misma. Por ejemplo, para el vértice V se cumple que la distancia al foco |VF| es igual a la distancia a la recta |VD|. Lo mismo ocurre con el punto X marcado en la figura. La distancia |XF| es igual a la distancia |XE|.

La parábola es la gráfica de una función cuadrática.

Ecuación de la parábola

En la parábola distinguimos cuatro casos diferentes. Depende de cómo esté orientado el eje de la parábola, es decir, de si el eje es vertical (paralelo al eje OY), como en la primera figura, o horizontal (paralelo al eje OX). Además distinguimos si la parábola está abierta hacia arriba o hacia abajo, y hacia la izquierda o hacia la derecha. Sea V el vértice de la parábola, de coordenadas (m, n).

• Primer caso: La parábola tiene el eje paralelo al eje OY y está abierta hacia arriba. Para ella se cumple esta ecuación:

  $$(x-m{)}^2=2p(y-n)$$

  El foco tiene coordenadas:

  $$F(m,n+\frac{p}{2})$$

• Segundo caso: La parábola tiene el eje paralelo al eje OY y está abierta hacia abajo. Para ella se cumple esta ecuación:

  $$(x-m{)}^2=-2p(y-n)$$

  El foco tiene coordenadas:

  $$F(m,n-\frac{p}{2})$$

• Tercer caso: La parábola tiene el eje paralelo al eje OX y está abierta hacia la derecha. Para ella se cumple esta ecuación:

  $$(y-n{)}^2=2p(x-m)$$

  El foco tiene coordenadas:

  $$F(m+\frac{p}{2},n)$$

• Cuarto caso: La parábola tiene el eje paralelo al eje OX y está abierta hacia la izquierda. Para ella se cumple esta ecuación:

  $$(y-n{)}^2=-2p(x-m)$$

  El foco tiene coordenadas:

  $$F(m-\frac{p}{2},n)$$