面積と体積

まず、念のため基本をごく簡単に説明しておきます。図形の周の長さは、すべての辺の長さの和で、メートルやそこから導かれる単位で表します。周の長さは、ふつう文字 l で表します。図形の面積は、図形が囲む部分の広さで、平方メートルで表します。平方メートルは、数学では右上に2をつけて m² と書きます。面積は、ふつう文字 S で表します。体積は、立体がしめる空間の大きさで、簡単に言えば、水をどれだけ入れられるかを表します。体積は立方メートルやそこから導かれる単位で表し、右上に3をつけて m³ と書きます。体積は、ふつう文字 V で表します。面積や体積は、ほかの（ふだんの生活ではたぶんよく使う）単位でも表せます。面積ならアールやヘクタール、体積ならリットルです。一般に、面積や体積は積分で計算できます。

正方形と長方形

どちらも2次元の図形なので、周の長さと面積だけを考えます。正方形はいちばん簡単です。正方形は定義から、すべての辺の長さが等しいからです。したがって、正方形の周の長さを求めるには、1辺の長さに4（辺の数）をかければよいのです。l=4a です。長方形の周の長さは、ほんの少しだけ複雑です。長方形には、同じ長さの辺が2本ずつあるので、方法は2つあります。すべての辺をそのままたすか、長さのちがう2辺をそれぞれ2倍してたすかです。l=2a+2b です。

正方形の面積も、周の長さと同じくらい簡単です。1つの辺の長さに、もう1つの辺の長さをかけます。正方形の辺はすべて同じ長さなので、公式は S = a·a = a² となります。長方形も正方形とまったく同じですが、長方形は辺の長さがすべて等しいわけではないので、たがいに垂直な異なる2辺をかける必要があります。S=a·b です。

平行四辺形

平行四辺形は、長方形に似ていますが、向かい合う2辺がななめになっている図形です（この段落の下の図を参照）。平行四辺形の周の長さは簡単で、基本的に長方形と同じ l=2a+2b ですが、面積は少しおもしろくなります。平行四辺形の面積を求めるには、平行四辺形を長方形に変える必要があります。どうやって長方形にするかを、次の図に示します。

まず、平行四辺形のはみ出した部分（色をぬった部分）を切りとり、平行四辺形の反対側につけます。すると長方形ができます。

これで、平行四辺形の面積が簡単に計算できるようになりました。公式は長方形と同じです。ただし、毎回図をかいて変形するのは面倒なので、この変形から導いた簡単な公式を使います。辺 a は、長方形でも平行四辺形でも同じで、ちがうのはもう1つの辺だけです。そこで平行四辺形では、辺 b のかわりに、変形した長方形の辺 b に等しい、平行四辺形の高さを使います。次の図にまとめます（赤い辺どうしをかけます）。

公式は S=h_a·a です。

台形

周の長さは明らかで、すべての辺をたせばよいのです。台形の面積は、少し難しくなります。理屈の上では平行四辺形と同じように考えられますが、長いほうの辺（AB）と短いほうの辺（CD）のどちらを使えばよいのかがわかりません。

そこで、ひと工夫します。2本の平行な辺の長さの平均を求め、それを使って計算するのです。つまり、辺 AB と CD の長さをたして2で割り、あとは平行四辺形と同じように高さをかければ、面積が得られます。S=(a+c)/2 · h_a です。

三角形

三角形は2次元の図形なので、周の長さと面積は考えられますが、体積はなく、考えることもできません。三角形の周の長さは、すべての辺をたして求めます。つまり、一般の公式は l=a+b+c です。もちろん特別な場合もあります。たとえば、正三角形はすべての辺の長さが等しいので、1辺の長さがわかれば、それを3倍すればよいことは明らかです。公式は l'=3a となります。

三角形の面積を求めるには、ちょっとした変形が必要です。そのためには、三角形を平行四辺形に変えなければなりません（平行四辺形を長方形にしたのと同じようにします）。三角形をどうやって平行四辺形にするかを、次の図に示します。

この図から、三角形の面積の求め方はもう明らかでしょう。平行四辺形の面積と同じように計算し、その結果を2で割ればよいのです。S=(h_c·c)/2 です。

円

円は、周の長さも面積も、小数で正確に書き表すことができないという点で特別な図形です。円について何を計算するにしても、ほとんどいつも円周率 π が必要になります。π は循環しない無限小数で、無理数ですが、（電卓に値が入っていないときに）ふつう計算に使う近似値は3.14です。

では、公式に進みましょう。昔の学者たちも、円周の長さ、つまり円のまわりの長さをどう計算するかを調べていました（円周は線、つまり曲線だけを指し、内部をもたないので面積もありません。一方、円の内部も含めた図形には面積があります）。すると、円の直径（簡単にはかれます）と円周の長さの比はいつも同じであることがわかり、やがて円周が直径の何倍なのかも計算されました。なんと、π倍だったのです。したがって、円周の長さは l=π·d=2·π·r で計算できます（2つ目の、複雑なほうの公式がよく使われます。ふつうは直径より半径がわかっていることが多いからです）。ここで d は直径、r は円の半径です。

円の面積は S=π·r² です。これ以上言うことはありません。

立方体と直方体

ここからは立体なので、表面積と体積を求めます。立方体には6つの面があり、どの面も正方形なので、手順は明らかです。1つの面の面積を求め、それを6倍します。S=6a² です。直方体は、種類のちがう面がいくつかあるので、少し手間がかかります。基本的には、異なる3つの面の面積を求めてたし、2倍すれば直方体の表面積が得られます。S=(a·b + b·c + a·c)·2 です。

立方体の体積は、正方形の面積とまったく同じように求めます。ただ、空間で考えていることを忘れてはいけません。要するに、1辺の長さを3乗すればよいのです。V=a³ です。直方体も似ていますが、3つの辺の長さがちがうので、別々にかけます。V=a·b·c です。

球

球の表面積（球面の面積）は S=4·π·r² で、球の体積は V=4/3·π·r³ です。球の体積の、かなり複雑な導き方を知りたいなら、カヴァリエリの原理を見てみましょう。

円柱

円柱の表面積は、2つの底面の面積と側面の面積をたして求めます。底面はふつうの円なので、1つの底面の面積は円の面積に等しく、次のように計算します。

$$S_p=\pi \cdot r^2$$

円柱の側面は、「丸めた」長方形にほかなりません。その1辺の長さは円柱の高さ（h とします）に等しく、もう1辺の長さは底面の円周に等しくなります。したがって、側面積は次のようになります。

$$S_s=h\cdot 2\pi r$$

円柱全体の表面積は、次のようになります。

$$S=2\cdot S_p+S_s=2\pi r^2+2h\pi r=2\pi r(r+h)$$

円柱の体積はもっと簡単で、高さに底面積をかけたものです。底面積は上ですでに計算しました。結果は次のとおりです。

$$V=h\cdot \pi r^2$$

角錐と円錐

角錐の表面積は、一般に、底面積とすべての側面の面積の和として計算します。一般的な公式はとくにありません。角錐の体積は、三角形の面積の計算と少し関係があります。底面積に角錐の高さをかけ、その結果を3で割れば、角錐の体積が得られます。V=(S_p · h)/3 で、S_p は底面積です。

直円錐の表面積は、底面積と側面積の和に等しくなります。底面積は明らかで、ふつうの円なので S=π·r² です。側面積は少し複雑です。側面を机の上に「広げる」と、おうぎ形ができることを思いうかべましょう。その面積は S=π·r·s です。ここで s は側面のおうぎ形の半径（円錐の頂点から底面のふちまでの距離、つまり母線の長さで、角錐の側辺に似たものです）です。円錐の体積は V=(π · r² · h)/3 で、h は円錐の高さです。

面積の例題

次の図形の面積を求めなさい（軸の目盛りの単位はメートルとします）。

ひと目見て、この図形は特別な名前のない多角形で、全体にそのまま使える公式はないことがわかります。そこで、計算できる小さな部分に分ける必要があります。いちばん簡単なのは、下の部分を三角形に、上の部分を台形にする分け方です。分け方を次の図に示します。

まず、三角形 ABE の面積を公式 S=(a · h_a)/2 で計算します。ここでは辺 a は辺 AE、この辺を底辺としたときの高さは辺 EB です。図から |AE|=3 m、|EB|=1 m であることがわかります。公式に代入すると、S=(3 · 1)/2=1.5 m² が得られます。

次に、台形の面積を公式 S=(a+c)/2 · h_a で計算します。ここでは辺 a は辺 AE、辺 c は辺 DC です。高さも図から簡単に読みとれ、線分 EC の長さです。公式に代入すると、S=(3+2)/2 · 2=5 m² が得られます。

あとは、2つの結果をたすだけで、図形の面積が求められます。S=1.5 m² + 5 m² = 6.5 m²。

次の図形の面積を求めなさい（軸の目盛りの単位はメートルとします）。

これもひと目でわかるように、1つの公式だけでは足りないので、図形を何らかの方法で変形する必要があります。次のように計算します。「正方形」の面積を求め、それに円の面積の4分の3をたし、左下の小さな三角形をひきます。

正方形の面積は簡単に計算できます。S₁ = 2 · 2 = 4 m² です。次に、円の面積を計算します。これも公式に代入して、S₂ = π · 1² · 3/4 = 3π/4 です。残るは三角形 DEI の面積を計算し、正方形の面積からひくことだけです。辺 EI も、それを底辺としたときの高さ DI も長さは 1 m なので、三角形の面積は S₃ = ½ です。

最後に、途中の結果をたしたりひいたりします。S = S₁ + S₂ − S₃ = 3.5 m² + 3π/4 m²。