Παραβολή

Η παραβολή είναι κωνική τομή, δηλαδή καμπύλη της οποίας κάθε σημείο ισαπέχει από μια δοσμένη ευθεία και από ένα δοσμένο σημείο που δεν ανήκει σε αυτή την ευθεία.

Πώς μοιάζει η παραβολή

Η παραβολή ορίζεται από ένα σημείο F και μια ευθεία d. Για όλα τα σημεία X αυτής της παραβολής ισχύει ότι έχουν την ίδια απόσταση από το σημείο F και από την ευθεία d. Δες το σχήμα:

• Το σημείο F λέγεται εστία της παραβολής.
• Η ευθεία d λέγεται διευθετούσα της παραβολής.
• Η ευθεία FD λέγεται άξονας συμμετρίας της παραβολής, είναι κάθετη στη διευθετούσα και διέρχεται από την εστία.
• Το σημείο V λέγεται κορυφή της παραβολής και βρίσκεται στο μέσο του τμήματος FD.
• Το μήκος του τμήματος FD το λέμε παράμετρο της παραβολής. Είναι η απόσταση της εστίας από τη διευθετούσα.

Στο σχήμα πρόσεξε επίσης ότι πράγματι η απόσταση ενός σημείου της παραβολής από την ευθεία και από την εστία είναι πάντα ίδια. Για παράδειγμα, για την κορυφή V ισχύει ότι η απόσταση από την εστία |VF| είναι ίση με την απόσταση από την ευθεία |VD|. Παρόμοια ισχύει για το σημείο X, που είναι σημειωμένο στο σχήμα. Η απόσταση |XF| είναι ίση με την απόσταση |XE|.

Η παραβολή είναι η γραφική παράσταση της τετραγωνικής συνάρτησης.

Εξίσωση της παραβολής

Στην παραβολή διακρίνουμε συνολικά τέσσερις διαφορετικές περιπτώσεις. Εξαρτάται από τον προσανατολισμό του άξονα της παραβολής, δηλαδή από το αν ο άξονας είναι κατακόρυφος (παράλληλος στον άξονα y'y), όπως στο πρώτο σχήμα, ή οριζόντιος (παράλληλος στον άξονα x'x). Επιπλέον διακρίνουμε την περίπτωση που η παραβολή είναι φραγμένη από κάτω ή από πάνω και «από αριστερά» ή «από δεξιά». Έστω ότι η παραβολή έχει κορυφή V με συντεταγμένες (m, n).

• Πρώτη περίπτωση: Η παραβολή έχει άξονα παράλληλο στον άξονα y'y και είναι φραγμένη από κάτω. Για αυτήν ισχύει η εξής εξίσωση:

  $$(x-m{)}^2=2p(y-n)$$

  Η εστία έχει συντεταγμένες:

  $$F(m,n+\frac{p}{2})$$

• Δεύτερη περίπτωση: Η παραβολή έχει άξονα παράλληλο στον άξονα y'y και είναι φραγμένη από πάνω. Για αυτήν ισχύει η εξής εξίσωση:

  $$(x-m{)}^2=-2p(y-n)$$

  Η εστία έχει συντεταγμένες:

  $$F(m,n-\frac{p}{2})$$

• Τρίτη περίπτωση: Η παραβολή έχει άξονα παράλληλο στον άξονα x'x και είναι φραγμένη «από αριστερά». Για αυτήν ισχύει η εξής εξίσωση:

  $$(y-n{)}^2=2p(x-m)$$

  Η εστία έχει συντεταγμένες:

  $$F(m+\frac{p}{2},n)$$

• Τέταρτη περίπτωση: Η παραβολή έχει άξονα παράλληλο στον άξονα x'x και είναι φραγμένη «από δεξιά». Για αυτήν ισχύει η εξής εξίσωση:

  $$(y-n{)}^2=-2p(x-m)$$

  Η εστία έχει συντεταγμένες:

  $$F(m-\frac{p}{2},n)$$