Parabel

Parabeln är ett kägelsnitt, alltså en kurva där varje punkt har samma avstånd till en given linje och till en given punkt som inte ligger på linjen.

Så ser en parabel ut

Parabeln definieras av en punkt F och en linje d. För alla punkter X på parabeln gäller då att de har samma avstånd till punkten F och till linjen d. Titta på figuren:

• Punkten F kallas parabelns brännpunkt.
• Linjen d kallas parabelns styrlinje.
• Linjen FD kallas parabelns axel, den är vinkelrät mot styrlinjen och går genom brännpunkten.
• Punkten V kallas parabelns extrempunkt (vertex) och ligger mitt på sträckan FD.
• Längden av sträckan FD kallar vi parabelns parameter. Det är avståndet från brännpunkten till styrlinjen.

Lägg också märke till i figuren att det verkligen gäller att avståndet från en punkt på parabeln till linjen och till brännpunkten alltid är detsamma. För extrempunkten V gäller till exempel att avståndet till brännpunkten |VF| är lika med avståndet till linjen |VD|. På samma sätt gäller det för punkten X, som är markerad i figuren. Avståndet |XF| är lika med avståndet |XE|.

Parabeln är grafen till en andragradsfunktion.

Parabelns ekvation

För parabeln skiljer vi mellan sammanlagt fyra olika fall. Det första är hur parabelns axel är riktad, alltså om axeln är lodrät (parallell med y-axeln), som i den första figuren, eller om axeln är vågrät (parallell med x-axeln). Vidare skiljer vi på fallet då parabeln är begränsad nedåt eller uppåt och ”åt vänster” eller ”åt höger”. Låt parabelns extrempunkt V ha koordinaterna (m, n).

• Första fallet: Parabelns axel är parallell med y-axeln, och parabeln är begränsad nedåt. För den gäller den här ekvationen:

  $$(x-m{)}^2=2p(y-n)$$

  Brännpunkten har koordinaterna:

  $$F(m,n+\frac{p}{2})$$

• Andra fallet: Parabelns axel är parallell med y-axeln, och parabeln är begränsad uppåt. För den gäller den här ekvationen:

  $$(x-m{)}^2=-2p(y-n)$$

  Brännpunkten har koordinaterna:

  $$F(m,n-\frac{p}{2})$$

• Tredje fallet: Parabelns axel är parallell med x-axeln, och parabeln är begränsad ”åt vänster”. För den gäller den här ekvationen:

  $$(y-n{)}^2=2p(x-m)$$

  Brännpunkten har koordinaterna:

  $$F(m+\frac{p}{2},n)$$

• Fjärde fallet: Parabelns axel är parallell med x-axeln, och parabeln är begränsad ”åt höger”. För den gäller den här ekvationen:

  $$(y-n{)}^2=-2p(x-m)$$

  Brännpunkten har koordinaterna:

  $$F(m-\frac{p}{2},n)$$