双曲線

双曲線は2次曲線の1つです。双曲線上のどの点についても、決められた2つの点からの距離の差の絶対値は一定です。

双曲線の形

上の定義は少しむずかしそうに聞こえるので、まず双曲線の図を見てみましょう。

楕円や放物線のようなほかの2次曲線とちがって、双曲線は2つの曲線からできていることに注目しましょう。上の定義はどういう意味でしょうか。2つの焦点 F₁ と F₂ があるとします。双曲線上のどの点 X についても、差 |XF₁|−|XF₂| の絶対値は等しくなければなりません。

図には2つの点 X₁ と X₂ があります。X₁ では、差は |X₁F₁|−|X₁F₂| = 1 − 3 = −2 で、絶対値は 2 です。X₂ でも同じ値になるはずです。試してみましょう。|X₂F₁|−|X₂F₂| = 3 − 5 = −2 で、絶対値は 2 です（辺 X₂F₂ の長さが5であることは、たとえば三平方の定理で計算できます）。

この手順を双曲線上のすべての点に当てはめると、いつも結果は 2 になります。

双曲線の各部分

上の双曲線に説明をかき加えた図を見てみましょう。

• 点 F₁ と F₂ を焦点といいます。
• 点 S を双曲線の中心といい、線分 F₁F₂ の中点にあります。
• 直線 F₁F₂ を双曲線の主軸といいます。点 S でこの軸に垂直な直線を、双曲線の副軸といいます。
• 双曲線と主軸の交点を双曲線の頂点といい、図では点 A と B です。
• 線分 AS と BS を、それぞれ主軸の半分といいます。その長さを a で表します。
• 副軸の半分の長さを b で表します。
• 中心から焦点までの距離を e で表します。次の関係が成り立ちます。

$$e=\sqrt{a^2+b^2}$$

副軸の半分の長さ b がどこからきたのかをわかりやすくするために、もう1つ図を見てみましょう。

同じ双曲線ですが、おもに漸近線、つまり中心 S を通る2本の交差する紫の直線 a₁, a₂ がかき加えられています。主軸の半分 a は変わらず、やはり線分 AS です。ここで、漸近線の上に、距離 |SD| が中心から焦点までの距離 e に等しくなるように点 D をとります。すると、線分 AD の長さが副軸の半分の長さを表します。図からわかるように、できる三角形は直角三角形なので、三平方の定理が使え、次の関係が成り立ちます。

$$e=\sqrt{a^2+b^2}.$$

図の円は点 S を中心とし、長さ |F₁S|（中心から焦点までの距離）が長さ |SD| と等しいことを示しているだけです。

双曲線の方程式

双曲線の方程式は、主軸が x 軸に平行か y 軸に平行かによって、2つの場合に分かれます。中心 S の座標を (m, n) とします。

• 主軸が x 軸に平行なとき：

方程式：

$$\frac{(x-m{)}^2}{a^2}-\frac{(y-n{)}^2}{b^2}=1$$

• 主軸が y 軸に平行なとき：

方程式：

$$\frac{(y-n{)}^2}{a^2}-\frac{(x-m{)}^2}{b^2}=1$$