正方形
正方形は基本的な図形で、4つの辺の長さがすべて等しく、どの内角もちょうど90°です。平方完成という方法もあります。
正方形とは
正方形の例を、次の図で見てみましょう。
どの正方形も4つの頂点をもちます。この正方形の頂点は A、B、C、D で、図では青で示してあります。この場合、正方形 ABCD といいます。これらの頂点は線分で結ばれ、正方形の4つの辺をつくっています。具体的には、辺 AB、BC、CD、DA です。図では、これらの辺を太い線で示しています。どの辺も同じ長さで、ここでは長さは5です。
どの辺も、となりの辺と直角、つまり90°の角をつくります。
正方形の対角線
緑の線分は対角線です。どの正方形にも対角線が2本あり、この正方形の対角線は AC と DB です。つまり対角線は、正方形の向かい合う頂点を結ぶ線分です。対角線については、次のことも成り立ちます。
- 対角線は、いつも正方形の辺より長くなります。
- もっと正確に言うと、正方形の1辺の長さが a なら、対角線 u の長さは
- 2本の対角線は、いつも正方形の中心（重心）で交わります。
- 1本の対角線は、正方形を2等分します。2本の対角線で、正方形は4等分されます。
- 2本の対角線は、たがいに相手を2等分します。図のように正方形の中心を点 O とすると、線分 AO の長さは線分 CO の長さと等しくなります。
- 対角線は、となり合う2辺がつくる角を2等分します。たとえば図では、角 ABC は90°で、角 ABD は45°です。
- 2本の対角線は、たがいに垂直に交わります。
周の長さと面積
周の長さは、正方形のまわりの長さ、つまりすべての辺の長さの和です。したがって、正方形の辺の長さが a なら、周の長さは 4 · a です。面積は、正方形が占める部分の広さです。1つの辺の長さに、となりの辺の長さをかけます。しかし、正方形の辺はすべて同じ長さなので、a · a を計算するだけです。もう一度まとめておきます。
たとえば、前の図の正方形は、周の長さが 4 · 5 = 20、面積が 5 · 5 = 25 です。
正方形の向き
次の図形は正方形でしょうか。
この図形は正方形です。辺が4つあり、すべて同じ長さで、どの辺もとなりの辺と直角をつくっているからです。正方形を回転させても、正方形のままです。しかし、たとえば角の大きさを変えると、もう正方形ではなくなります。
頂点が4つ、辺が4つですべて同じ長さですが、角がすべて直角ではないので、正方形ではありません。
正方形のかき方
正方形は簡単にかけます。必要なのは辺の長さだけです。たとえば辺の長さが3 cmなら、まず長さ3 cmの線分を引きます。両端の点を頂点 A と B（好きな名前でかまいません）とします。次に、定規で直角をはかり、点 A と B から、好きな向きに垂直な線分を2本引きます。これらの線分も長さは3にします。新しい点を C と D とします。最後に、点 C と D を線分で結びます。
外接円と内接円
外接円と内接円は、正方形といっしょによく出てくる用語です。どちらの円も、中心は正方形の中心、つまり対角線の交点です。
外接円は、正方形のすべての頂点を通る円です。半径は AO で、A は正方形の頂点（どれでもかまいません）、O は中心です。
内接円は、正方形のすべての辺に接する円です。半径は a/2 で、a は正方形の辺の長さです。
平方メートル
正方形は、面積の基本的な単位である平方メートルとも関係があります。これはどういうことでしょうか。1平方メートルの広さとは、1辺1メートルの正方形の面積と同じ広さのことです。広さ10平方メートルの部屋には、1辺1メートルの正方形がちょうど10個入ります。1辺10メートルの正方形の面積ではないので注意しましょう。次の図にまとめます。
1辺10メートルの正方形の面積は1アール、1辺100メートルの正方形の面積は1ヘクタールです。