Parabola

Parabola este o conică, adică o curbă ale cărei puncte sunt toate la aceeași distanță de o dreaptă dată și de un punct dat care nu se află pe acea dreaptă.

Cum arată parabola

Parabola este definită de un punct F și o dreaptă d. Pentru toate punctele X ale acestei parabole, distanța până la punctul F este egală cu distanța până la dreapta d. Privește figura:

• Punctul F se numește focarul parabolei.
• Dreapta d se numește dreapta directoare a parabolei (directoarea).
• Dreapta FD se numește axa parabolei; este perpendiculară pe directoare și trece prin focar.
• Punctul V se numește vârful parabolei și se află la mijlocul segmentului FD.
• Lungimea segmentului FD se numește parametrul parabolei. Este distanța de la focar la directoare.

Observă în figură că distanța de la un punct al parabolei până la dreaptă și până la focar este într-adevăr întotdeauna aceeași. De exemplu, pentru vârful V, distanța până la focar |VF| este aceeași cu distanța până la dreaptă |VD|. La fel este și pentru punctul X marcat în figură. Distanța |XF| este egală cu distanța |XE|.

Parabola este graficul unei funcții de gradul al doilea.

Ecuația parabolei

La parabolă deosebim patru cazuri diferite. Contează cum este orientată axa parabolei, adică dacă axa este verticală (paralelă cu axa Oy), ca în prima figură, sau orizontală (paralelă cu axa Ox). Mai deosebim cazul în care parabola este deschisă în sus sau în jos, respectiv spre dreapta sau spre stânga. Fie o parabolă cu vârful V de coordonate (m, n).

• Primul caz: Parabola are axa paralelă cu axa Oy și este deschisă în sus (se află deasupra vârfului). Pentru ea are loc ecuația:

  $$(x-m{)}^2=2p(y-n)$$

  Focarul are coordonatele:

  $$F(m,n+\frac{p}{2})$$

• Al doilea caz: Parabola are axa paralelă cu axa Oy și este deschisă în jos (se află sub vârf). Pentru ea are loc ecuația:

  $$(x-m{)}^2=-2p(y-n)$$

  Focarul are coordonatele:

  $$F(m,n-\frac{p}{2})$$

• Al treilea caz: Parabola are axa paralelă cu axa Ox și este deschisă spre dreapta (se află „la dreapta” vârfului). Pentru ea are loc ecuația:

  $$(y-n{)}^2=2p(x-m)$$

  Focarul are coordonatele:

  $$F(m+\frac{p}{2},n)$$

• Al patrulea caz: Parabola are axa paralelă cu axa Ox și este deschisă spre stânga (se află „la stânga” vârfului). Pentru ea are loc ecuația:

  $$(y-n{)}^2=-2p(x-m)$$

  Focarul are coordonatele:

  $$F(m-\frac{p}{2},n)$$