Paraabeli

Paraabeli on kartioleikkaus eli käyrä, jonka jokaisella pisteellä on annettuun suoraan ja annettuun pisteeseen, joka ei ole tällä suoralla, sama etäisyys.

Miltä paraabeli näyttää

Paraabeli määritellään yhdellä pisteellä F ja yhdellä suoralla d. Kaikille tämän paraabelin pisteille X pätee, että niillä on pisteeseen F ja suoraan d sama etäisyys. Katso kuvaa:

• Pistettä F kutsutaan paraabelin polttopisteeksi.
• Suoraa d kutsutaan paraabelin johtosuoraksi.
• Suoraa FD kutsutaan paraabelin akseliksi, se on kohtisuorassa johtosuoraa vastaan ja kulkee polttopisteen kautta.
• Pistettä V kutsutaan paraabelin huipuksi, ja se on janan FD keskipisteessä.
• Janan FD pituutta kutsumme paraabelin parametriksi. Se on polttopisteen etäisyys johtosuorasta.

Huomaa kuvasta myös, että paraabelin pisteen etäisyys suorasta ja polttopisteestä on todella aina sama. Esimerkiksi huipulle V pätee, että etäisyys polttopisteestä |VF| on sama kuin etäisyys suorasta |VD|. Samoin se pätee pisteelle X, joka on kuvassa merkitty. Etäisyys |XF| on sama kuin etäisyys |XE|.

Paraabeli on toisen asteen funktion kuvaaja.

Paraabelin yhtälö

Paraabelilla erotetaan yhteensä neljä eri tapausta. Se riippuu paraabelin akselin suunnasta eli siitä, onko akseli pystysuora (y-akselin suuntainen) kuten ensimmäisessä kuvassa vai vaakasuora (x-akselin suuntainen). Lisäksi erotetaan tapaus, jossa paraabeli aukeaa ylös tai alas sekä ”vasemmalle” tai ”oikealle”. Olkoon paraabelin huippu V, jonka koordinaatit ovat (m, n).

• Ensimmäinen tapaus: Paraabelin akseli on y-akselin suuntainen ja paraabeli aukeaa ylöspäin. Sille pätee tämä yhtälö:

  $$(x-m{)}^2=2p(y-n)$$

  Polttopisteen koordinaatit ovat:

  $$F=(m,n+\frac{p}{2})$$

• Toinen tapaus: Paraabelin akseli on y-akselin suuntainen ja paraabeli aukeaa alaspäin. Sille pätee tämä yhtälö:

  $$(x-m{)}^2=-2p(y-n)$$

  Polttopisteen koordinaatit ovat:

  $$F=(m,n-\frac{p}{2})$$

• Kolmas tapaus: Paraabelin akseli on x-akselin suuntainen ja paraabeli aukeaa ”oikealle”. Sille pätee tämä yhtälö:

  $$(y-n{)}^2=2p(x-m)$$

  Polttopisteen koordinaatit ovat:

  $$F=(m+\frac{p}{2},n)$$

• Neljäs tapaus: Paraabelin akseli on x-akselin suuntainen ja paraabeli aukeaa ”vasemmalle”. Sille pätee tämä yhtälö:

  $$(y-n{)}^2=-2p(x-m)$$

  Polttopisteen koordinaatit ovat:

  $$F=(m-\frac{p}{2},n)$$