Parabool

Een parabool is een kegelsnede, dat is een kromme waarvan elk punt dezelfde afstand heeft tot een gegeven lijn en tot een gegeven punt dat niet op die lijn ligt.

Hoe ziet een parabool eruit

Een parabool wordt gedefinieerd door één punt F en één lijn d. Voor alle punten X van deze parabool geldt dan dat ze dezelfde afstand hebben tot dit punt F en tot de lijn d. Bekijk de afbeelding:

• Punt F heet het brandpunt van de parabool.
• Lijn d heet de richtlijn van de parabool.
• Lijn FD heet de symmetrie-as van de parabool, staat loodrecht op de richtlijn en gaat door het brandpunt.
• Punt V heet de top van de parabool en ligt in het midden van lijnstuk FD.
• De lengte van lijnstuk FD noemen we de parameter van de parabool. Het is de afstand van het brandpunt tot de richtlijn.

Let er in de afbeelding ook op dat de afstand van een punt van de parabool tot de lijn en tot het brandpunt echt altijd gelijk is. Voor de top V geldt bijvoorbeeld dat de afstand tot het brandpunt |VF| gelijk is aan de afstand tot de lijn |VD|. Op dezelfde manier geldt dat voor punt X, dat in de afbeelding is aangegeven. De afstand |XF| is gelijk aan de afstand |XE|.

De parabool is de grafiek van een kwadratische functie.

Vergelijking van een parabool

Bij een parabool onderscheiden we in totaal vier verschillende gevallen. Het hangt ervan af hoe de symmetrie-as van de parabool is gericht, dus of de as verticaal is (evenwijdig aan de y-as), zoals in de eerste afbeelding, of dat de as horizontaal is (evenwijdig aan de x-as). Verder onderscheiden we het geval waarin de parabool naar boven of naar beneden open is en naar “links” of naar “rechts”. Stel dat de parabool top V heeft met coördinaten (m, n).

• Eerste geval: De parabool heeft een as evenwijdig aan de y-as en is naar boven open (een dalparabool). Hiervoor geldt deze vergelijking:

  $$(x-m{)}^2=2p(y-n)$$

  Het brandpunt heeft coördinaten:

  $$F(m,n+\frac{p}{2})$$

• Tweede geval: De parabool heeft een as evenwijdig aan de y-as en is naar beneden open (een bergparabool). Hiervoor geldt deze vergelijking:

  $$(x-m{)}^2=-2p(y-n)$$

  Het brandpunt heeft coördinaten:

  $$F(m,n-\frac{p}{2})$$

• Derde geval: De parabool heeft een as evenwijdig aan de x-as en is naar rechts open. Hiervoor geldt deze vergelijking:

  $$(y-n{)}^2=2p(x-m)$$

  Het brandpunt heeft coördinaten:

  $$F(m+\frac{p}{2},n)$$

• Vierde geval: De parabool heeft een as evenwijdig aan de x-as en is naar links open. Hiervoor geldt deze vergelijking:

  $$(y-n{)}^2=-2p(x-m)$$

  Het brandpunt heeft coördinaten:

  $$F(m-\frac{p}{2},n)$$