Parabola

A parabola kúpszelet, vagyis olyan görbe, amelynek minden pontja egy adott egyenestől és egy adott, az egyenesen nem fekvő ponttól ugyanolyan távolságra van.

Hogyan néz ki a parabola

A parabolát egy F pont és egy d egyenes határozza meg. A parabola minden X pontjára igaz, hogy az F ponttól és a d egyenestől ugyanolyan távolságra van. Nézd meg az ábrát:

• Az F pontot a parabola fókuszpontjának nevezzük.
• A d egyenest a parabola vezéregyenesének nevezzük.
• Az FD egyenes a parabola tengelye, merőleges a vezéregyenesre, és átmegy a fókuszponton.
• A V pontot a parabola csúcsának nevezzük, és az FD szakasz felezőpontjában van.
• Az FD szakasz hosszát a parabola paraméterének nevezzük. Ez a fókuszpont és a vezéregyenes távolsága.

Az ábrán azt is vedd észre, hogy tényleg mindig ugyanakkora a parabola pontjának távolsága az egyenestől és a fókuszponttól. Például a V csúcsra igaz, hogy a fókuszponttól mért |VF| távolság ugyanakkora, mint az egyenestől mért |VD| távolság. Hasonlóan igaz ez az ábrán kiemelt X pontra is. Az |XF| távolság ugyanakkora, mint az |XE| távolság.

A parabola a másodfokú függvény grafikonja.

A parabola egyenlete

A parabolánál összesen négy különböző esetet különböztetünk meg. Az számít, hogyan helyezkedik el a parabola tengelye, vagyis függőleges-e (párhuzamos az y tengellyel), mint az első ábrán, vagy vízszintes (párhuzamos az x tengellyel). Továbbá megkülönböztetjük azt az esetet, amikor a parabola alulról vagy felülről, „balról” vagy „jobbról” korlátos. Legyen a parabola csúcsa a V pont, amelynek koordinátái (m; n).

• Első eset: A parabola tengelye párhuzamos az y tengellyel, és alulról korlátos. Egyenlete a következő:

  $$(x-m{)}^2=2p(y-n)$$

  A fókuszpont koordinátái:

  $$F(m;n+\frac{p}{2})$$

• Második eset: A parabola tengelye párhuzamos az y tengellyel, és felülről korlátos. Egyenlete a következő:

  $$(x-m{)}^2=-2p(y-n)$$

  A fókuszpont koordinátái:

  $$F(m;n-\frac{p}{2})$$

• Harmadik eset: A parabola tengelye párhuzamos az x tengellyel, és „balról” korlátos. Egyenlete a következő:

  $$(y-n{)}^2=2p(x-m)$$

  A fókuszpont koordinátái:

  $$F(m+\frac{p}{2};n)$$

• Negyedik eset: A parabola tengelye párhuzamos az x tengellyel, és „jobbról” korlátos. Egyenlete a következő:

  $$(y-n{)}^2=-2p(x-m)$$

  A fókuszpont koordinátái:

  $$F(m-\frac{p}{2};n)$$