Parábola

A parábola é uma cônica, isto é, uma curva em que cada ponto tem a mesma distância a uma reta dada e a um ponto dado que não pertence a essa reta.

Como é a parábola

A parábola é definida por um ponto F e uma reta d. Para todos os pontos X dessa parábola vale que eles têm a mesma distância a esse ponto F e à reta d. Observe a figura:

• O ponto F chama-se foco da parábola.
• A reta d chama-se diretriz da parábola.
• A reta FD chama-se eixo da parábola; é perpendicular à diretriz e passa pelo foco.
• O ponto V chama-se vértice da parábola e fica no ponto médio do segmento FD.
• Chamamos o comprimento do segmento FD de parâmetro da parábola. É a distância do foco à diretriz.

Observe também na figura que realmente vale que a distância de um ponto da parábola à reta e ao foco é sempre a mesma. Por exemplo, para o vértice V vale que a distância ao foco |VF| é igual à distância à reta |VD|. O mesmo vale para o ponto X, que está indicado na figura. A distância |XF| é igual à distância |XE|.

A parábola é o gráfico de uma função quadrática.

Equação da parábola

Na parábola distinguimos, no total, quatro casos diferentes. Depende de como o eixo da parábola está orientado, isto é, se o eixo é vertical (paralelo ao eixo y), como na primeira figura, ou se o eixo é horizontal (paralelo ao eixo x). Além disso, distinguimos o caso em que a concavidade da parábola está voltada para cima ou para baixo e “para a direita” ou “para a esquerda”. Suponha que a parábola tem vértice V de coordenadas (m, n).

• Primeiro caso: A parábola tem eixo paralelo ao eixo y e concavidade voltada para cima. Para ela vale esta equação:

  $$(x-m{)}^2=2p(y-n)$$

  O foco tem coordenadas:

  $$F(m,n+\frac{p}{2})$$

• Segundo caso: A parábola tem eixo paralelo ao eixo y e concavidade voltada para baixo. Para ela vale esta equação:

  $$(x-m{)}^2=-2p(y-n)$$

  O foco tem coordenadas:

  $$F(m,n-\frac{p}{2})$$

• Terceiro caso: A parábola tem eixo paralelo ao eixo x e concavidade voltada para a direita. Para ela vale esta equação:

  $$(y-n{)}^2=2p(x-m)$$

  O foco tem coordenadas:

  $$F(m+\frac{p}{2},n)$$

• Quarto caso: A parábola tem eixo paralelo ao eixo x e concavidade voltada para a esquerda. Para ela vale esta equação:

  $$(y-n{)}^2=-2p(x-m)$$

  O foco tem coordenadas:

  $$F(m-\frac{p}{2},n)$$