Parabola

La parabola è una sezione conica, cioè una curva in cui ogni punto ha la stessa distanza da una retta data e da un punto dato che non appartiene a quella retta.

Che aspetto ha la parabola

La parabola è definita da un punto F e da una retta d. Tutti i punti X di questa parabola hanno la stessa distanza da questo punto F e dalla retta d. Osserva la figura:

• Il punto F si chiama fuoco della parabola.
• La retta d si chiama direttrice della parabola.
• La retta FD si chiama asse della parabola, è perpendicolare alla direttrice e passa per il fuoco.
• Il punto V si chiama vertice della parabola e si trova nel punto medio del segmento FD.
• La lunghezza del segmento FD la chiamiamo parametro della parabola. È la distanza del fuoco dalla direttrice.

Nella figura osserva anche che la distanza di un punto della parabola dalla retta e dal fuoco è davvero sempre la stessa. Per esempio, per il vertice V la distanza dal fuoco |VF| è uguale alla distanza dalla retta |VD|. Lo stesso vale per il punto X segnato nella figura. La distanza |XF| è uguale alla distanza |XE|.

La parabola è il grafico di una funzione quadratica.

Equazione della parabola

Per la parabola distinguiamo in tutto quattro casi diversi. Dipende da come è orientato l’asse della parabola, cioè se l’asse è verticale (parallelo all’asse y), come nella prima figura, oppure orizzontale (parallelo all’asse x). Inoltre distinguiamo il caso in cui la parabola è limitata inferiormente o superiormente e quello in cui è limitata «a sinistra» o «a destra». Sia V il vertice della parabola, di coordinate (m; n).

• Primo caso: La parabola ha l’asse parallelo all’asse y ed è limitata inferiormente. Per essa vale questa equazione:

  $$(x-m{)}^2=2p(y-n)$$

  Il fuoco ha coordinate:

  $$F(m;n+\frac{p}{2})$$

• Secondo caso: La parabola ha l’asse parallelo all’asse y ed è limitata superiormente. Per essa vale questa equazione:

  $$(x-m{)}^2=-2p(y-n)$$

  Il fuoco ha coordinate:

  $$F(m;n-\frac{p}{2})$$

• Terzo caso: La parabola ha l’asse parallelo all’asse x ed è limitata «a sinistra». Per essa vale questa equazione:

  $$(y-n{)}^2=2p(x-m)$$

  Il fuoco ha coordinate:

  $$F(m+\frac{p}{2};n)$$

• Quarto caso: La parabola ha l’asse parallelo all’asse x ed è limitata «a destra». Per essa vale questa equazione:

  $$(y-n{)}^2=-2p(x-m)$$

  Il fuoco ha coordinate:

  $$F(m-\frac{p}{2};n)$$