Parameterframställning av en rät linje

Parameterframställningen är en grundläggande ekvation för en rät linje i planet eller i rummet.

Motivation

Hur kan vi beskriva en rät linje i planet? Vi vet att det räcker med två olika punkter för att bestämma en linje, låt oss kalla dem A och B. Med andra ord: genom två olika punkter går exakt en rät linje p:

Hur kan vi beskriva linjen på ett annat sätt, med hjälp av vektorer? Vi kan rita in en vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ i figuren som är parallell med linjen p.

Vektorn $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ har samma riktning som linjen p. Det är bra, men riktningen räcker inte. Om vi bara beskrev linjen p med vektorn $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ skulle vi bara bestämma linjens riktning, inte dess läge. Vi skulle inte kunna skilja de här tre linjerna åt:

De nya linjerna p₁ och p₂ har samma riktning som linjen p och som vektorn $\overrightarrow{\mathbf{u}}$. För att entydigt bestämma linjen p behöver vi dessutom känna till minst en punkt som ligger på linjen p. Om vi säger att linjen p har den riktning som vektorn $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ anger och går genom punkten A har vi entydigt bestämt linjen p. Linjerna p₁ och p₂ har visserligen samma riktning, men ingen av dem går genom punkten A.

Vilken linje som helst kan vi skriva som $p(A,\overrightarrow{\mathbf{u}})$, där A är en punkt på linjen och $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ är en vektor som är parallell med linjen. Linjen p₁ kan vi till exempel skriva som $p(G,\overrightarrow{\mathbf{u}})$ och linjen p₂ som $p(E,\overrightarrow{\mathbf{u}})$ eller $p(F,\overrightarrow{\mathbf{u}})$. Vi kan använda vilken punkt som helst på linjen.

Linjens riktningsvektor

Om vi har en linje $p(A,\overrightarrow{\mathbf{u}})$ kallar vi vektorn $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ för linjens riktningsvektor. Det enklaste sättet att hitta en riktningsvektor är att hitta två punkter A, B på linjen p. Riktningsvektorn är då den riktade sträckan $\overrightarrow{AB}$. Vi får dess koordinater som skillnaden mellan punkternas koordinater, $\overrightarrow{\mathbf{u}}=B-A$. Exempel:

Vi har en linje p och på den ligger två punkter A, B. Riktningsvektorn är lika med den riktade sträckan $\overrightarrow{AB}$, så koordinaterna för vektorn $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ får vi genom att beräkna

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)=(6,6)-(2,4)=(4,2)$$

Vektorn $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ har då samma längd som den riktade sträckan $\overrightarrow{AB}$. Vi kan rita in vektorn $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ i figuren så här:

Slutpunkten för vektorn $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ har koordinaterna (4, 2), precis som vi beräknade, och vi ser att vektorn är parallell med linjen. Riktningsvektorn visar bara linjens riktning, eller kanske bättre, linjens ”lutning”. Riktningsvektorn behöver bara vara parallell med linjen. Om vi i stället för den riktade sträckan $\overrightarrow{AB}$ hade tagit sträckan $\overrightarrow{BA}$ hade vi fått riktningsvektorn $\overrightarrow{\mathbf{v}}=A-B$:

$$\overrightarrow{\mathbf{v}}=(v_1,v_2)=(2,4)-(6,6)=(-4,-2)$$

Inritat i figuren:

Vi ser att den gröna vektorn $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ är motsatt vektor till den blå vektorn $\overrightarrow{\mathbf{u}}$. Båda är ändå riktningsvektorer för linjen p, eftersom båda är parallella med linjen p.

Parameterframställning av en linje

Vi har en linje p, en punkt A som ligger på linjen och en riktningsvektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$. Vilken punkt får vi om vi adderar punkten A och vektorn $\overrightarrow{\mathbf{u}}$? Vi tittar på en figur:

Om vi adderar en punkt som ligger på linjen och en riktningsvektor får vi en punkt X som också ligger på linjen. I princip ”förflyttar vi punkten A i vektorns riktning en sträcka som är lika lång som vektorn $\overrightarrow{\mathbf{u}}$”. Punkten X har alltså koordinaterna:

$$X=(x,y)=A+\overrightarrow{\mathbf{u}}=(2,1)+(1,3)=(3,4)$$

Hur skulle det bli om vi bara tog hälften av vektorn $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, eller dubbla vektorn? Eller −1 gånger vektorn? Det visar figuren igen:

Vi ser att när vi adderar punkten A och en godtycklig multipel av riktningsvektorn $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ får vi alltid en punkt som ligger på linjen p. Den röda punkten A visar ”startpunkten” och de gröna punkterna visar summorna av punkten A och multipler av den blå riktningsvektorn $\overrightarrow{\mathbf{u}}$.

Faktum är att vilken punkt X på linjen p vi än väljer kan vi alltid skriva den som summan av punkten A och t gånger riktningsvektorn $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, där t är ett reellt tal. För alla punkter X på linjen p kan vi säga att det finns ett t ∈ ℝ sådant att

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}}.$$

Med andra ord: om vi i den här ekvationen sätter in alla reella tal för t får vi alla punkter som bildar linjen p, alltså hela linjen p. Den här ekvationen kallas parameterframställning av linjen $p(A,\overrightarrow{\mathbf{u}})$.

Den föregående ekvationen kan vi ersätta med ett ekvationssystem. Om punkten X har koordinaterna (x, y), punkten A har koordinaterna (a₁, a₂) och vektorn $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ har koordinaterna (u₁, u₂) kan vi skriva

$$(x,y)=(a_1,a_2)+t\cdot (u_1,u_2),$$

vilket vi kan skriva om till det ekvationssystem vi nämnde (vi uttrycker x-koordinaten och y-koordinaten var för sig):

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2\end{array}$$

Varje rät linje i planet kan uttryckas med det här ekvationssystemet.

Begränsning av parametern

I föregående avsnitt sade vi att vi får en linje när vi sätter in alla reella tal för parametern t i parameterframställningen. Vad skulle hända om vi inte tog alla reella tal utan bara hälften av dem, säg bara de icke-negativa reella talen?

Vi skulle få en stråle. Om vi går tillbaka till den här figuren …

… ser vi att för alla positiva multipler (dvs. positiv parameter t) av riktningsvektorn $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ fick vi punkter X som låg ”ovanför” punkten A. Och omvänt: när vi adderade en negativ multipel av $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ (dvs. negativ parameter t) fick vi en punkt på ”motsatt sida”, ”nedanför” punkten A. Om vi sätter in alla icke-negativa tal för parametern t, dvs. t ∈ [0, +∞[, får vi den här rödmarkerade strålen r:

Den streckade linjen visar de punkter vi skulle få om vi i stället satte in alla negativa tal för parametern t.

Om vi satte in alla tal från enhetsintervallet [0, 1] för parametern t skulle vi få en sträcka som är lika lång som riktningsvektorn. Vi skulle få den här röda sträckan:

Exempel

Vi har två punkter A(−1, 3) och B(2, 5) i planet.

1. Bestäm parameterframställningen av linjen p genom punkterna A, B. Först bestämmer vi riktningsvektorn. Vi tar den riktade sträckan $\overrightarrow{AB}$, och riktningsvektorn $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ får då koordinaterna

   $$\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)=B-A=(2,5)-(-1,3)=(3,2)$$

   Parameterframställningen har i allmänhet formen $X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}}$, och när vi sätter in får vi ekvationen

   $$X=(-1,3)+t\cdot (3,2)$$

   som vi kan skriva om till ett ekvationssystem så här:

   $$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& -1+3t\\ x_2& =& 3+2t\end{array}$$

   Eftersom vi beskriver en linje gäller t ∈ ℝ. Figuren kommer lite längre ned.

2. Bestäm parameterframställningen av strålen r som har startpunkt A och går genom punkten B. Vi använder samma parameterframställning, men begränsar parametern t. Nu gäller det bara att avgöra om t ∈ [0, +∞[ eller t ∈ ]−∞, 0].

   Riktningsvektorn fick vi från den riktade sträckan $\overrightarrow{AB}$, vilket betyder att startpunkten är A och slutpunkten är B. Det är precis vad vi behöver, eftersom vår stråle också ska ha startpunkten A. Det betyder att vi inte behöver vända riktningen med negativa värden på parametern, och vi tar därför parametern t från det icke-negativa intervallet t ∈ [0, +∞[.

   Figuren som beskriver lösningen av den här och den föregående uppgiften.

   

3. Bestäm mittpunkten på sträckan AB. Vi kan gå tillväga på två sätt: addera koordinaterna för punkterna A, B och dela de resulterande koordinaterna med två. Vi gör det:

   $$M=\frac{(-1,3)+(2,5)}{2}=\frac{(1,8)}{2}=(\frac{1}{2},4)$$

   Vi kan få samma punkt också med hjälp av riktningsvektorn. Den fick vi från den riktade sträckan $\overrightarrow{AB}$, vilket betyder att summan $A+\overrightarrow{\mathbf{u}}$ ger punkten B. Om vi alltså adderar hälften av riktningsvektorn till A får vi mittpunkten på sträckan $\overrightarrow{AB}$:

   $$M=A+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathbf{u}}=(-1,3)+\frac{1}{2}(3,2)=(-1,3)+(\frac{3}{2},1)=(\frac{1}{2},4)$$

   Vi ser att vi fick samma punkt. Som kontroll en figur: