Ecuaciones paramétricas de la recta

Las ecuaciones paramétricas de la recta son las ecuaciones básicas de una recta en el plano o en el espacio.

Motivación

¿Cómo podríamos describir una recta en el plano? Sabemos que para describir una recta nos bastan dos puntos distintos; llamémoslos, por ejemplo, A y B. Dicho de otro modo: si tenemos dos puntos distintos, por ellos pasa exactamente una recta p:

¿Cómo podríamos describir esta recta de otra manera, con la ayuda de los vectores? Podemos dibujar en la figura un vector $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ paralelo a la recta p.

Este vector $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ tiene la misma dirección que la recta p. Esto está muy bien, pero la dirección sola no nos basta. Si caracterizáramos la recta p solo con el vector $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, determinaríamos únicamente su dirección, no su posición concreta. No tendríamos manera de distinguir estas tres rectas:

Las nuevas rectas p₁ y p₂ tienen la misma dirección que la recta p y que el vector $\overrightarrow{\mathbf{u}}$. Para definir de forma única la recta p necesitamos conocer además al menos un punto que pertenezca a la recta p. Si decimos que la recta p tiene la dirección dada por el vector $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ y pasa por el punto A, la definimos de forma única. Las rectas p₁ y p₂ tienen la misma dirección, pero ninguna de las dos pasa por el punto A.

Cualquier recta la podemos escribir como $p(A,\overrightarrow{\mathbf{u}})$, donde A es un punto de la recta y $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ es un vector paralelo a la recta. Por ejemplo, la recta p₁ podríamos escribirla como $p(G,\overrightarrow{\mathbf{u}})$ y la recta p₂ como $p(E,\overrightarrow{\mathbf{u}})$ o $p(F,\overrightarrow{\mathbf{u}})$ — podemos usar cualquier punto de la recta.

Vector director de una recta

Si tenemos una recta $p(A,\overrightarrow{\mathbf{u}})$, el vector $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ se llama vector director de la recta. La forma más sencilla de hallar un vector director es buscar dos puntos A, B que estén en la recta p; el vector director será entonces el segmento orientado $\overrightarrow{AB}$. Las coordenadas de este vector se obtienen restando las coordenadas de los puntos: $\overrightarrow{\mathbf{u}}=B-A$. Ejemplo:

Tenemos una recta p y en ella están dos puntos A, B. El vector director será igual al segmento orientado $\overrightarrow{AB}$, así que las coordenadas de este vector $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ las obtenemos calculando

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)=(6,6)-(2,4)=(4,2)$$

El vector $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ tiene entonces el mismo módulo que el segmento orientado $\overrightarrow{AB}$. Podemos dibujar este vector $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ en la figura así:

El extremo del vector $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ tiene coordenadas (4, 2), justo como hemos calculado, y se ve que este vector es paralelo a la recta. El vector director solo nos indica la dirección de la recta o, quizá mejor, su «inclinación». El vector director solo tiene que ser paralelo a la recta. Así que, si en lugar del segmento orientado $\overrightarrow{AB}$ tomáramos el segmento $\overrightarrow{BA}$, nos saldría el vector director $\overrightarrow{\mathbf{v}}=A-B$:

$$\overrightarrow{\mathbf{v}}=(v_1,v_2)=(2,4)-(6,6)=(-4,-2)$$

Dibujado en la figura:

Vemos que el vector verde $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ es opuesto al vector azul $\overrightarrow{\mathbf{u}}$. Aun así, ambos son vectores directores de la recta p, porque los dos son paralelos a la recta p.

Ecuaciones paramétricas de la recta

Tenemos una recta p, un punto A que está en esta recta y un vector director $\overrightarrow{\mathbf{u}}$. ¿Qué punto obtenemos si sumamos al punto A el vector $\overrightarrow{\mathbf{u}}$? Veámoslo en la figura:

Si sumamos a un punto de la recta el vector director, obtenemos un punto X que también está en esa recta. En el fondo, solo «desplazamos el punto A en la dirección del vector una distancia igual al módulo del vector $\overrightarrow{\mathbf{u}}$». El punto X tiene entonces coordenadas:

$$X=(x,y)=A+\overrightarrow{\mathbf{u}}=(2,1)+(1,3)=(3,4)$$

¿Qué pasaría si tomáramos solo la mitad del vector $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ o su doble? ¿O −1 veces el vector? La figura lo muestra de nuevo:

Vemos que, si sumamos al punto A cualquier múltiplo del vector director $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, siempre obtenemos un punto que está en la recta p. El punto rojo A representa el «origen» y los puntos verdes representan los resultados de sumar al punto A múltiplos del vector director azul $\overrightarrow{\mathbf{u}}$.

En realidad, cualquier punto X que elijamos en la recta p siempre se puede expresar como la suma del punto A con un múltiplo $t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}}$ del vector director $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, donde t es un número real. Para todos los puntos X de la recta p podemos decir que existe un t ∈ ℝ tal que

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}}.$$

Dicho de otro modo: si en esta ecuación sustituyéramos t sucesivamente por todos los números reales, obtendríamos todos los puntos que forman la recta p; obtendríamos la recta p entera. Esta ecuación se llama ecuación vectorial de la recta $p(A,\overrightarrow{\mathbf{u}})$.

Podemos sustituir la ecuación anterior por un sistema de ecuaciones. Si el punto X tiene coordenadas (x, y), el punto A tiene coordenadas (a₁, a₂) y el vector $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ tiene coordenadas (u₁, u₂), podemos escribir

$$(x,y)=(a_1,a_2)+t\cdot (u_1,u_2),$$

lo que se puede reescribir en el sistema de ecuaciones ya mencionado, las ecuaciones paramétricas (expresamos por separado la coordenada x y la coordenada y):

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2\end{array}$$

Toda recta del plano se puede expresar con este sistema de ecuaciones.

Restricción del parámetro

En el apartado anterior dijimos que, si en la ecuación vectorial sustituimos el parámetro t por todos los números reales, obtenemos una recta. ¿Qué pasaría si no tomáramos todos los números reales, sino, digamos, solo la mitad de ellos: los números reales no negativos?

Obtendríamos una semirrecta. Si volvemos a esta figura…

…vemos que para todos los múltiplos positivos (es decir, para el parámetro t positivo) del vector director $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ hemos obtenido puntos X que estaban «por encima» del punto A. Y al revés: si sumábamos un múltiplo negativo de $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ (es decir, un parámetro t negativo), obteníamos un punto situado en el «lado contrario», «por debajo» del punto A. Si sustituimos el parámetro t por todos los números no negativos, es decir, t ∈ [0, +∞), obtenemos la semirrecta r, resaltada en rojo:

La línea discontinua representa los puntos que obtendríamos si, por el contrario, sustituyéramos el parámetro t por todos los números negativos.

Si sustituyéramos el parámetro t por todos los números del intervalo unidad [0, 1], obtendríamos un segmento tan largo como el módulo del vector director. Obtendríamos este segmento rojo:

Ejemplos

En el plano tenemos dos puntos A(−1, 3) y B(2, 5).

1. Halla la ecuación vectorial de la recta p que pasa por los puntos A, B. Primero determinamos el vector director. Tomamos el segmento orientado $\overrightarrow{AB}$, y el vector director $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ tendrá entonces coordenadas

   $$\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)=B-A=(2,5)-(-1,3)=(3,2)$$

   La ecuación vectorial de la recta tiene en general la forma $X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}}$; al sustituir, obtenemos la ecuación

   $$X=(-1,3)+t\cdot (3,2)$$

   que podemos reescribir como el sistema

   $$\begin{array}{rcl}x& =& -1+3t\\ y& =& 3+2t\end{array}$$

   Como describimos una recta, t ∈ ℝ. La figura aparece un poco más abajo.

2. Halla la ecuación vectorial de la semirrecta r que tiene origen en A y pasa por B. Usamos la misma ecuación, solo que restringimos el parámetro t. Ahora se trata de decidir si t ∈ [0,+∞) o t ∈ (−∞, 0].

   El vector director lo hemos obtenido del segmento orientado $\overrightarrow{AB}$, lo que significa que el origen es A y el extremo es B. Es justo lo que necesitamos: nuestra semirrecta también debe tener origen en A. Esto significa que no hace falta invertir el sentido con valores negativos del parámetro, y tomaremos el parámetro t del intervalo no negativo t ∈ [0, +∞).

   La figura que describe la solución de este ejercicio y del anterior.

   

3. Halla el punto medio del segmento AB. Podemos proceder de dos maneras: sumar las coordenadas de los puntos A, B y dividir las coordenadas resultantes entre dos. Hagámoslo:

   $$M=\frac{(-1,3)+(2,5)}{2}=\frac{(1,8)}{2}=(\frac{1}{2},4)$$

   Pero el mismo punto lo podemos obtener también a través del vector director. Lo hemos obtenido del segmento orientado $\overrightarrow{AB}$, lo que significa que, al sumar $A+\overrightarrow{\mathbf{u}}$, obtenemos el punto B. Así, si a A le sumamos la mitad del vector director, obtenemos el punto medio del segmento $\overrightarrow{AB}$:

   $$M=A+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathbf{u}}=(-1,3)+\frac{1}{2}(3,2)=(-1,3)+(\frac{3}{2},1)=(\frac{1}{2},4)$$

   Vemos que ha salido el mismo punto. Para comprobarlo, la figura: