Parameterform der Geraden

Die Parametergleichung einer Geraden ist die grundlegende Gleichung einer Geraden in der Ebene oder im Raum.

Motivation

Wie könnten wir eine Gerade in der Ebene beschreiben? Wir wissen, dass zwei verschiedene Punkte genügen, um eine Gerade festzulegen. Nennen wir sie zum Beispiel A und B. Anders gesagt: Zu zwei verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade p, die durch beide Punkte verläuft:

Wie könnten wir diese Gerade anders beschreiben, mithilfe von Vektoren? Wir können in das Bild einen Vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ einzeichnen, der parallel zur Geraden p ist.

Dieser Vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ hat dieselbe Richtung wie die Gerade p. Das ist ganz nett, aber die Richtung allein genügt uns nicht. Würden wir die Gerade p nur durch den Vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ beschreiben, bestimmten wir nur ihre Richtung, nicht ihre genaue Lage. Wir könnten diese drei Geraden nicht voneinander unterscheiden:

Die neuen Geraden p₁ und p₂ haben dieselbe Richtung wie die Gerade p und wie der Vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$. Um die Gerade p eindeutig festzulegen, müssen wir außerdem mindestens einen Punkt kennen, der auf der Geraden p liegt. Sagen wir, dass die Gerade p die durch den Vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ beschriebene Richtung hat und durch den Punkt A verläuft, dann haben wir die Gerade p eindeutig festgelegt. Die Geraden p₁ und p₂ haben zwar dieselbe Richtung, aber keine von beiden verläuft durch den Punkt A.

Jede Gerade können wir als $p(A,\overrightarrow{\mathbf{u}})$ schreiben, wobei A ein Punkt auf der Geraden und $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ ein zur Geraden paralleler Vektor ist. Die Gerade p₁ könnten wir zum Beispiel in der Form $p(G,\overrightarrow{\mathbf{u}})$ schreiben und die Gerade p₂ als $p(E,\overrightarrow{\mathbf{u}})$ oder $p(F,\overrightarrow{\mathbf{u}})$ – wir können jeden Punkt verwenden, der auf der Geraden liegt.

Richtungsvektor einer Geraden

Haben wir eine Gerade $p(A,\overrightarrow{\mathbf{u}})$, dann nennen wir den Vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ den Richtungsvektor der Geraden. Am einfachsten finden wir einen Richtungsvektor, indem wir zwei Punkte A, B suchen, die auf der Geraden p liegen. Der Richtungsvektor ist dann die gerichtete Strecke $\overrightarrow{AB}$. Die Koordinaten dieses Vektors erhalten wir als Differenz der Koordinaten $\overrightarrow{\mathbf{u}}=B-A$. Beispiel:

Wir haben eine Gerade p, auf der zwei Punkte A, B liegen. Der Richtungsvektor ist gleich der gerichteten Strecke $\overrightarrow{AB}$, also bestimmen wir die Koordinaten dieses Vektors $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ durch die Rechnung

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)=(6\mid 6)-(2\mid 4)=(4\mid 2)$$

Der Vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ hat dann dieselbe Länge wie die gerichtete Strecke $\overrightarrow{AB}$. Diesen Vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ können wir so in das Bild einzeichnen:

Der Endpunkt des Vektors $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ hat die Koordinaten (4 ∣ 2), genau wie wir berechnet haben, und man sieht, dass dieser Vektor parallel zur Geraden ist. Der Richtungsvektor zeigt uns nur die Richtung der Geraden oder, besser gesagt, die „Neigung der Geraden“. Der Richtungsvektor muss nur parallel zur Geraden sein. Würden wir also statt der gerichteten Strecke $\overrightarrow{AB}$ die Strecke $\overrightarrow{BA}$ nehmen, erhielten wir den Richtungsvektor $\overrightarrow{\mathbf{v}}=A-B$:

$$\overrightarrow{\mathbf{v}}=\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)=(2\mid 4)-(6\mid 6)=(-4\mid -2)$$

Eingezeichnet im Bild:

Wir sehen, dass der grüne Vektor $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ der Gegenvektor des blauen Vektors $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ ist. Beide sind aber Richtungsvektoren der Geraden p, weil beide parallel zur Geraden p sind.

Parameterform der Geraden

Wir haben eine Gerade p, einen Punkt A, der auf dieser Geraden liegt, und einen Richtungsvektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$. Welchen Punkt erhalten wir, wenn wir den Punkt A und den Vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ addieren? Schauen wir uns das Bild an:

Addieren wir zu einem Punkt, der auf der Geraden liegt, den Richtungsvektor, erhalten wir einen Punkt X, der ebenfalls auf dieser Geraden liegt. Im Grunde „verschieben“ wir den Punkt A nur in Richtung des Vektors um die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathbf{u}}$. Der Punkt X hat also die Koordinaten:

$$X=(x\mid y)=A+\overrightarrow{\mathbf{u}}=(2\mid 1)+(1\mid 3)=(3\mid 4)$$

Was würde passieren, wenn wir nur die Hälfte des Vektors $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ nähmen oder das Doppelte? Oder das −1-Fache? Auch das zeigt das Bild:

Wir sehen: Addieren wir zum Punkt A ein beliebiges Vielfaches des Richtungsvektors $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, erhalten wir immer einen Punkt, der auf der Geraden p liegt. Der rote Punkt A stellt den „Anfang“ dar, die grünen Punkte stellen die Ergebnisse der Summen des Punktes A mit Vielfachen des blauen Richtungsvektors $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ dar.

Tatsächlich können wir jeden Punkt X, der auf der Geraden p liegt, als Summe des Punktes A und des λ-Fachen des Richtungsvektors $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ ausdrücken, wobei λ eine reelle Zahl ist. Für alle Punkte X auf der Geraden p können wir sagen, dass es ein λ ∈ ℝ gibt, sodass

$$X=A+\lambda \cdot \overrightarrow{\mathbf{u}}.$$

Mit anderen Worten: Setzen wir in diese Gleichung nacheinander für λ alle reellen Zahlen ein, erhalten wir alle Punkte, aus denen die Gerade p besteht, also die ganze Gerade p. Diese Gleichung heißt Parameterform der Geraden $p(A,\overrightarrow{\mathbf{u}})$.

Die vorige Gleichung können wir durch ein Gleichungssystem ersetzen. Hat der Punkt X die Koordinaten (x ∣ y), der Punkt A die Koordinaten (a₁ ∣ a₂) und der Vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ die Koordinaten $\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)$, dann können wir schreiben

$$(x\mid y)=(a_1\mid a_2)+\lambda \cdot \left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right),$$

was sich weiter in das bereits erwähnte Gleichungssystem umschreiben lässt (wir drücken die x-Koordinate und die y-Koordinate getrennt aus):

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+\lambda \cdot u_1\\ y& =& a_2+\lambda \cdot u_2\end{array}$$

Jede Gerade in der Ebene lässt sich durch dieses Gleichungssystem ausdrücken.

Einschränkung des Parameters

Im vorigen Kapitel haben wir gesagt, dass wir eine Gerade erhalten, wenn wir in die Parametergleichung für den Parameter λ alle reellen Zahlen einsetzen. Was würde passieren, wenn wir nicht alle reellen Zahlen nähmen, sondern, sagen wir, nur die Hälfte davon – nur die nichtnegativen reellen Zahlen?

Wir würden einen Strahl erhalten. Kehren wir zu diesem Bild zurück …

… dann sehen wir, dass wir für alle positiven Vielfachen (d. h. für positives λ) des Richtungsvektors $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ Punkte X erhalten haben, die „oberhalb“ des Punktes A lagen. Und umgekehrt: Haben wir ein negatives Vielfaches von $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ addiert (d. h. negatives λ), erhielten wir einen Punkt auf der „gegenüberliegenden Seite“, „unterhalb“ des Punktes A. Setzen wir für den Parameter λ alle nichtnegativen Zahlen ein, d. h. λ ∈ [0; +∞[, erhalten wir den rot hervorgehobenen Strahl r:

Die gestrichelte Linie stellt die Punkte dar, die wir erhielten, wenn wir umgekehrt für den Parameter λ alle negativen Zahlen einsetzten.

Würden wir für den Parameter λ alle Zahlen aus dem Einheitsintervall [0; 1] einsetzen, erhielten wir eine Strecke, die genauso lang wäre wie der Richtungsvektor. Wir erhielten diese rote Strecke:

Beispiele

Gegeben sind in der Ebene zwei Punkte A(−1 ∣ 3) und B(2 ∣ 5).

1. Bestimme die Parametergleichung der Geraden p, die durch die Punkte A, B verläuft. Zuerst bestimmen wir den Richtungsvektor. Wir nehmen die gerichtete Strecke $\overrightarrow{AB}$, und der Richtungsvektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ hat dann die Koordinaten

   $$\overrightarrow{\mathbf{u}}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)=B-A=(2\mid 5)-(-1\mid 3)=(3\mid 2)$$

   Die Parameterform der Geraden hat allgemein die Gestalt $X=A+\lambda \cdot \overrightarrow{\mathbf{u}}$, nach dem Einsetzen erhalten wir die Gleichung

   $$X=(-1\mid 3)+\lambda \cdot (3\mid 2)$$

   die wir als Gleichungssystem so schreiben können:

   $$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& -1+3\lambda \\ x_2& =& 3+2\lambda \end{array}$$

   Da wir eine Gerade beschreiben, gilt λ ∈ ℝ. Das Bild folgt etwas weiter unten.

2. Bestimme die Parametergleichung des Strahls r, der den Anfangspunkt A hat und durch den Punkt B verläuft. Wir verwenden dieselbe Parametergleichung und schränken nur den Parameter λ ein. Es geht nun nur darum, ob λ ∈ [0; +∞[ oder λ ∈ ]−∞; 0] gilt.

   Den Richtungsvektor haben wir aus der gerichteten Strecke $\overrightarrow{AB}$ gewonnen, also ist der Anfangspunkt A und der Endpunkt B. Genau so brauchen wir es – unser Strahl soll ebenfalls den Anfangspunkt A haben. Wir müssen die Richtung also nicht durch negative Parameterwerte umkehren und nehmen den Parameter λ aus dem nichtnegativen Intervall λ ∈ [0; +∞[.

   Das Bild zur Lösung dieser und der vorigen Aufgabe:

   

3. Finde den Mittelpunkt der Strecke AB. Wir können auf zwei Arten vorgehen: die Koordinaten der Punkte A, B addieren und die erhaltenen Koordinaten durch zwei teilen. Machen wir das:

   $$M=\frac{(-1\mid 3)+(2\mid 5)}{2}=\frac{(1\mid 8)}{2}=(\frac{1}{2}\mid 4)$$

   Denselben Punkt können wir aber auch über den Richtungsvektor erhalten. Den haben wir aus der gerichteten Strecke $\overrightarrow{AB}$ gewonnen, das heißt: Addieren wir $A+\overrightarrow{\mathbf{u}}$, erhalten wir den Punkt B. Addieren wir also zu A die Hälfte des Richtungsvektors, erhalten wir den Mittelpunkt der Strecke $\overrightarrow{AB}$:

   $$M=A+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathbf{u}}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\end{array}\right)+\frac{1}{2}(3\mid 2)=(-1\mid 3)+(\frac{3}{2}\mid 1)=(\frac{1}{2}\mid 4)$$

   Wir sehen, dass derselbe Punkt herausgekommen ist. Zur Kontrolle das Bild: