Параметрично уравнение на права

Параметричното уравнение на права е основното уравнение на права в равнината или в пространството.

Мотивация

Как бихме могли да опишем права в равнината? Знаем, че за да опишем права, са ни достатъчни две различни точки, нека ги означим например с A и B. С други думи: ако имаме две различни точки, през тях може да се прекара точно една права p:

Как бихме описали тази права по друг начин, с помощта на вектори? Можем да добавим към чертежа вектор $\overrightarrow{u}$, който е успореден на правата p.

Този вектор $\overrightarrow{u}$ има същата посока като правата p. Това е добре, но само посоката не ни стига. Ако характеризираме правата p само с вектора $\overrightarrow{u}$, бихме определили само посоката на правата, не и конкретното ѝ положение. Нямаше да имаме как да различим тези три прави:

Новите прави p₁ и p₂ имат същата посока като правата p и същата посока като вектора $\overrightarrow{u}$. За да определим правата p еднозначно, ни трябва още поне една точка, лежаща на правата p. Ако кажем, че правата p има посока, зададена с вектора $\overrightarrow{u}$, и минава през точката A, определяме правата p еднозначно. Правите p₁ и p₂ са в същата посока, но нито една от тях не минава през точката A.

Всяка права можем да запишем като $p(A,\overrightarrow{u})$, където A е точка, лежаща на правата, а $\overrightarrow{u}$ е вектор, успореден на правата. Например правата p₁ бихме могли да запишем във вида $p(G,\overrightarrow{u})$, а правата p₂ като $p(E,\overrightarrow{u})$ или $p(F,\overrightarrow{u})$ – можем да използваме коя да е точка, лежаща на правата.

Насочващ вектор на права

Ако имаме правата $p(A,\overrightarrow{u})$, наричаме вектора $\overrightarrow{u}$ насочващ вектор на правата. Най-лесно намираме насочващия вектор, като намерим две точки A, B, които лежат на правата p, и насочващият вектор ще бъде насочената отсечка $\overrightarrow{AB}$. Координатите на този вектор получаваме като разлика на координатите: $\overrightarrow{u}=B-A$. Пример:

Имаме права p и на нея лежат две точки A, B. Насочващият вектор ще бъде равен на насочената отсечка $\overrightarrow{AB}$, така че координатите на този вектор $\overrightarrow{u}$ намираме, като пресметнем

$$\overrightarrow{u}=(u_1;u_2)=(6;6)-(2;4)=(4;2)$$

Векторът $\overrightarrow{u}$ има същата дължина като насочената отсечка $\overrightarrow{AB}$. Можем да нанесем този вектор $\overrightarrow{u}$ на чертежа така:

Краят на вектора $\overrightarrow{u}$ има координати (4; 2), точно както пресметнахме, и се вижда, че този вектор е успореден на правата. Насочващият вектор ни показва само посоката на правата или, може би по-добре, „наклона на правата“. Насочващият вектор трябва само да е успореден на правата. Така че ако вместо насочената отсечка $\overrightarrow{AB}$ вземем отсечката $\overrightarrow{BA}$, ще получим насочващ вектор $\overrightarrow{v}=A-B$:

$$\overrightarrow{v}=(v_1;v_2)=(2;4)-(6;6)=(-4;-2)$$

Нанесено на чертежа:

Виждаме, че зеленият вектор $\overrightarrow{v}$ е противоположен на синия вектор $\overrightarrow{u}$. При това и двата са насочващи вектори на правата p, защото и двата са успоредни на правата p.

Параметрично уравнение на права

Имаме права p, точка A, която лежи на тази права, и насочващ вектор $\overrightarrow{u}$. Каква точка получаваме, ако съберем точката A с вектора $\overrightarrow{u}$? Нека погледнем чертежа:

Ако съберем точка, която лежи на правата, с насочващия вектор, получаваме точка X, която също лежи на тази права. По същество просто „преместваме точката A по посока на вектора на разстояние, равно на дължината на вектора $\overrightarrow{u}$“. Точката X има координати:

$$X=(x;y)=A+\overrightarrow{u}=(2;1)+(1;3)=(3;4)$$

Какво би станало, ако вземем само половината от вектора $\overrightarrow{u}$ или удвоения вектор? Или вектора, умножен по −1? Отново го показва чертежът:

Виждаме, че когато съберем точката A с кое да е кратно на насочващия вектор $\overrightarrow{u}$, винаги получаваме точка, която лежи на правата p. Червената точка A представя „началото“, а зелените точки представят резултатите от събирането на точката A с кратните на синия насочващ вектор $\overrightarrow{u}$.

Всъщност коя да е точка X да изберем на правата p, тази точка винаги можем да изразим като сбор на точката A с някакво t-кратно на насочващия вектор $\overrightarrow{u}$, където t е реално число. За всички точки X, лежащи на правата p, можем да кажем, че съществува t ∈ ℝ, такова че

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{u}.$$

С други думи – ако в това уравнение последователно заместим t с всички реални числа, ще получим всички точки, които образуват правата p; ще получим цялата права p. Това уравнение се нарича параметрично уравнение на правата $p(A,\overrightarrow{u})$.

Предишното уравнение можем да заменим със система уравнения. Ако точката X има координати (x; y), точката A има координати (a₁; a₂) и векторът $\overrightarrow{u}$ има координати (u₁; u₂), можем да запишем

$$(x;y)=(a_1;a_2)+t\cdot (u_1;u_2),$$

което може да се препише в споменатата вече система уравнения (изразяваме поотделно x-координатата и поотделно y-координатата):

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2\end{array}$$

Всяка права в равнината може да се изрази с тази система уравнения.

Ограничаване на параметъра

В предишния раздел казахме, че когато в параметричното уравнение заместим параметъра t с всички реални числа, получаваме права. Какво би станало, ако не вземем всички реални числа, а, да речем, само половината от тях – само неотрицателните реални числа?

Щяхме да получим лъч. Ако се върнем към този чертеж…

…ще видим, че за всички положителни кратни (т.е. положителен параметър t) на насочващия вектор $\overrightarrow{u}$ получаваме точки X, които лежат „над“ точката A. И обратно – когато прибавим отрицателно кратно на $\overrightarrow{u}$ (т.е. отрицателен параметър t), получаваме точка, която лежи от „противоположната страна“, „под“ точката A. Ако за параметъра t заместим всички неотрицателни числа, т.е. t ∈ [0; +∞), ще получим следния лъч r, отбелязан в червено:

Прекъснатата линия показва точките, които бихме получили, ако вземем за параметъра t всички отрицателни числа.

Ако за параметъра t заместим всички числа от единичния интервал [0; 1], ще получим отсечка, която е със същата дължина като насочващия вектор. Ще получим тази червена отсечка:

Примери

Имаме в равнината две точки A(−1; 3) и B(2; 5).

1. Определи параметричното уравнение на правата p, минаваща през точките A, B. Първо определяме насочващия вектор. Вземаме насочената отсечка $\overrightarrow{AB}$ и насочващият вектор $\overrightarrow{u}$ ще има координати

   $$\overrightarrow{u}=(u_1;u_2)=B-A=(2;5)-(-1;3)=(3;2)$$

   Параметричното уравнение на права има общ вид $X=A+t\cdot \overrightarrow{u}$, след заместване получаваме уравнението

   $$X=(-1;3)+t\cdot (3;2)$$

   което можем да препишем в система така:

   $$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& -1+3t\\ x_2& =& 3+2t\end{array}$$

   Тъй като описваме права, то t ∈ ℝ. Чертежът следва малко по-надолу.

2. Определи параметричното уравнение на лъча r, който има начало A и минава през точката B. Използваме същото параметрично уравнение, само ограничаваме параметъра t. Сега въпросът е дали t ∈ [0; +∞) или t ∈ (−∞; 0].

   Насочващия вектор получихме от насочената отсечка $\overrightarrow{AB}$, което означава, че началото е A, а краят е B. Това е точно както ни трябва – нашият лъч също трябва да има начало A. Следователно не е нужно да обръщаме посоката с отрицателни стойности на параметъра и ще вземем параметъра t от неотрицателния интервал t ∈ [0; +∞).

   Чертеж, описващ решението на тази и на предишната задача.

   

3. Намери средата на отсечката AB. Можем да постъпим по два начина: да съберем координатите на точките A, B и да разделим получените координати на две. Нека го направим:

   $$M=\frac{(-1;3)+(2;5)}{2}=\frac{(1;8)}{2}=(\frac{1}{2};4)$$

   Същата точка обаче можем да получим и чрез насочващия вектор. Него получихме от насочената отсечка $\overrightarrow{AB}$, което означава, че когато съберем $A+\overrightarrow{u}$, получаваме точката B. Ако към A прибавим половината от насочващия вектор, получаваме средата на отсечката $\overrightarrow{AB}$:

   $$M=A+\frac{1}{2}\overrightarrow{u}=(-1;3)+\frac{1}{2}(3;2)=(-1;3)+(\frac{3}{2};1)=(\frac{1}{2};4)$$

   Виждаме, че получихме същата точка. За проверка – чертеж: