Παραμετρικές εξισώσεις ευθείας

Οι παραμετρικές εξισώσεις ευθείας είναι βασική μορφή εξίσωσης ευθείας στο επίπεδο ή στον χώρο.

Κίνητρο

Πώς θα μπορούσαμε να περιγράψουμε μια ευθεία στο επίπεδο; Ξέρουμε ότι για να περιγράψουμε μια ευθεία μας αρκούν δύο διαφορετικά σημεία, ας τα ονομάσουμε για παράδειγμα A και B. Με άλλα λόγια: αν έχουμε δύο διαφορετικά σημεία, από αυτά περνά ακριβώς μία ευθεία p:

Πώς θα περιγράφαμε αυτή την ευθεία αλλιώς, με τη βοήθεια διανυσμάτων; Μπορούμε να προσθέσουμε στο σχήμα ένα διάνυσμα $\overrightarrow{u}$ που θα είναι παράλληλο προς την ευθεία p.

Αυτό το διάνυσμα $\overrightarrow{u}$ έχει την ίδια κατεύθυνση με την ευθεία p. Αυτό είναι μια χαρά, μόνο που η κατεύθυνση δεν μας αρκεί. Αν χαρακτηρίζαμε την ευθεία p μόνο με το διάνυσμα $\overrightarrow{u}$, θα προσδιορίζαμε μόνο την κατεύθυνση της ευθείας και όχι τη συγκεκριμένη θέση της. Δεν θα είχαμε τρόπο να ξεχωρίσουμε αυτές τις τρεις ευθείες:

Οι νέες ευθείες p₁ και p₂ έχουν την ίδια κατεύθυνση με την ευθεία p και την ίδια κατεύθυνση με το διάνυσμα $\overrightarrow{u}$. Για να ορίσουμε μονοσήμαντα την ευθεία p, χρειάζεται να ξέρουμε ακόμα τουλάχιστον ένα σημείο που βρίσκεται πάνω στην ευθεία p. Αν πούμε ότι η ευθεία p έχει κατεύθυνση που περιγράφεται από το διάνυσμα $\overrightarrow{u}$ και περνά από το σημείο A, ορίζουμε με αυτόν τον τρόπο μονοσήμαντα την ευθεία p. Οι ευθείες p₁ και p₂ έχουν μεν την ίδια κατεύθυνση, αλλά καμία τους δεν περνά από το σημείο A.

Οποιαδήποτε ευθεία μπορούμε να τη γράψουμε ως $p(A,\overrightarrow{u})$, όπου A είναι σημείο που βρίσκεται πάνω στην ευθεία και $\overrightarrow{u}$ είναι διάνυσμα παράλληλο προς την ευθεία. Για παράδειγμα, την ευθεία p₁ θα μπορούσαμε να τη γράψουμε στη μορφή $p(G,\overrightarrow{u})$ και την ευθεία p₂ ως $p(E,\overrightarrow{u})$ ή $p(F,\overrightarrow{u})$ – μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε οποιοδήποτε σημείο που βρίσκεται πάνω στην ευθεία.

Διάνυσμα κατεύθυνσης ευθείας

Αν έχουμε την ευθεία $p(A,\overrightarrow{u})$, το διάνυσμα $\overrightarrow{u}$ το λέμε διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας. Το διάνυσμα κατεύθυνσης το βρίσκουμε πιο εύκολα αν βρούμε δύο σημεία A, B που βρίσκονται πάνω στην ευθεία p, οπότε το διάνυσμα κατεύθυνσης θα είναι το προσανατολισμένο τμήμα $\overrightarrow{AB}$. Τις συντεταγμένες αυτού του διανύσματος τις παίρνουμε από τη διαφορά των συντεταγμένων $\overrightarrow{u}=B-A$. Παράδειγμα:

Έχουμε την ευθεία p και πάνω της βρίσκονται δύο σημεία A, B. Το διάνυσμα κατεύθυνσης θα είναι ίσο με το προσανατολισμένο τμήμα $\overrightarrow{AB}$, άρα τις συντεταγμένες αυτού του διανύσματος $\overrightarrow{u}$ τις βρίσκουμε υπολογίζοντας

$$\overrightarrow{u}=(u_1,u_2)=(6,6)-(2,4)=(4,2)$$

Το διάνυσμα $\overrightarrow{u}$ έχει τότε το ίδιο μέτρο με το προσανατολισμένο τμήμα $\overrightarrow{AB}$. Αυτό το διάνυσμα $\overrightarrow{u}$ μπορούμε να το σχεδιάσουμε στο σχήμα ως εξής:

Το πέρας του διανύσματος $\overrightarrow{u}$ έχει συντεταγμένες (4, 2), ακριβώς όπως υπολογίσαμε, και φαίνεται ότι αυτό το διάνυσμα είναι παράλληλο προς την ευθεία. Το διάνυσμα κατεύθυνσης μας δείχνει μόνο την κατεύθυνση της ευθείας ή, ίσως καλύτερα, την «κλίση της ευθείας». Το διάνυσμα κατεύθυνσης πρέπει να είναι μόνο παράλληλο προς την ευθεία. Αν λοιπόν αντί για το προσανατολισμένο τμήμα $\overrightarrow{AB}$ είχαμε πάρει το τμήμα $\overrightarrow{BA}$, θα είχαμε βρει διάνυσμα κατεύθυνσης $\overrightarrow{v}=A-B$:

$$\overrightarrow{v}=(v_1,v_2)=(2,4)-(6,6)=(-4,-2)$$

Σχεδιασμένο στο σχήμα:

Βλέπουμε ότι το πράσινο διάνυσμα $\overrightarrow{v}$ είναι αντίθετο του μπλε διανύσματος $\overrightarrow{u}$. Παρ᾽ όλα αυτά και τα δύο είναι διανύσματα κατεύθυνσης της ευθείας p, γιατί και τα δύο είναι παράλληλα προς την ευθεία p.

Παραμετρικές εξισώσεις ευθείας

Έχουμε την ευθεία p, το σημείο A που βρίσκεται πάνω σε αυτή την ευθεία και το διάνυσμα κατεύθυνσης $\overrightarrow{u}$. Ποιο σημείο παίρνουμε αν προσθέσουμε το σημείο A με το διάνυσμα $\overrightarrow{u}$; Ας δούμε το σχήμα:

Αν προσθέσουμε ένα σημείο που βρίσκεται πάνω στην ευθεία με το διάνυσμα κατεύθυνσης, παίρνουμε ένα σημείο X που βρίσκεται επίσης πάνω σε αυτή την ευθεία. Στην ουσία απλώς «μετακινούμε το σημείο A κατά τη φορά του διανύσματος κατά απόσταση ίση με το μέτρο του διανύσματος $\overrightarrow{u}$». Το σημείο X έχει έτσι συντεταγμένες:

$$X=(x,y)=A+\overrightarrow{u}=(2,1)+(1,3)=(3,4)$$

Τι θα γινόταν αν παίρναμε μόνο το μισό του διανύσματος $\overrightarrow{u}$ ή το διπλάσιό του; Ή το −1 πολλαπλάσιο; Και πάλι το δείχνει το σχήμα:

Βλέπουμε ότι όταν προσθέτουμε στο σημείο A οποιοδήποτε πολλαπλάσιο του διανύσματος κατεύθυνσης $\overrightarrow{u}$, παίρνουμε πάντα σημείο που βρίσκεται πάνω στην ευθεία p. Το κόκκινο σημείο A παριστάνει την «αρχή», ενώ τα πράσινα σημεία παριστάνουν τα αποτελέσματα των αθροισμάτων του σημείου A με πολλαπλάσια του μπλε διανύσματος κατεύθυνσης $\overrightarrow{u}$.

Στην πραγματικότητα, όποιο σημείο X κι αν διαλέξουμε πάνω στην ευθεία p, αυτό το σημείο μπορούμε πάντα να το εκφράσουμε ως άθροισμα του σημείου A με κάποιο t-πλάσιο του διανύσματος κατεύθυνσης $\overrightarrow{u}$, όπου το t είναι πραγματικός αριθμός. Για όλα τα σημεία X που βρίσκονται πάνω στην ευθεία p μπορούμε να πούμε ότι υπάρχει t ∈ ℝ τέτοιο ώστε

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{u}.$$

Με άλλα λόγια – αν σε αυτή την εξίσωση αντικαθιστούσαμε διαδοχικά στη θέση του t όλους τους πραγματικούς αριθμούς, θα παίρναμε όλα τα σημεία που αποτελούν την ευθεία p· θα παίρναμε ολόκληρη την ευθεία p. Αυτή η εξίσωση λέγεται παραμετρική εξίσωση της ευθείας $p(A,\overrightarrow{u})$.

Την προηγούμενη εξίσωση μπορούμε να την αντικαταστήσουμε με σύστημα εξισώσεων. Αν το σημείο X έχει συντεταγμένες (x, y), το σημείο A έχει συντεταγμένες (a₁, a₂) και το διάνυσμα $\overrightarrow{u}$ έχει συντεταγμένες (u₁, u₂), μπορούμε να γράψουμε

$$(x,y)=(a_1,a_2)+t\cdot (u_1,u_2),$$

που μπορεί να ξαναγραφεί στο σύστημα εξισώσεων που αναφέραμε (χωριστά εκφράζουμε τη συντεταγμένη x και χωριστά τη συντεταγμένη y):

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2\end{array}$$

Κάθε ευθεία στο επίπεδο μπορεί να εκφραστεί με αυτό το σύστημα εξισώσεων.

Περιορισμός της παραμέτρου

Στην προηγούμενη ενότητα είπαμε ότι όταν στην παραμετρική εξίσωση αντικαθιστούμε στη θέση της παραμέτρου t όλους τους πραγματικούς αριθμούς, παίρνουμε ευθεία. Τι θα γινόταν αν δεν παίρναμε όλους τους πραγματικούς αριθμούς, αλλά, ας πούμε, μόνο τους μισούς – μόνο τους μη αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς;

Θα παίρναμε ημιευθεία. Αν γυρίσουμε σε αυτό το σχήμα…

…βλέπουμε ότι για όλα τα θετικά πολλαπλάσια (δηλαδή θετική παράμετρο t) του διανύσματος κατεύθυνσης $\overrightarrow{u}$ πήραμε σημεία X που βρίσκονταν «πάνω» από το σημείο A. Και αντίστροφα – αν προσθέταμε αρνητικό πολλαπλάσιο του $\overrightarrow{u}$ (δηλαδή αρνητική παράμετρο t), παίρναμε σημείο που βρίσκεται από την «αντίθετη πλευρά», «κάτω» από το σημείο A. Αν στη θέση της παραμέτρου t αντικαθιστούσαμε όλους τους μη αρνητικούς αριθμούς, δηλαδή t ∈ [0, +∞), θα παίρναμε μια τέτοια, κόκκινα τονισμένη, ημιευθεία r:

Η διακεκομμένη γραμμή παριστάνει τα σημεία που θα παίρναμε αν, αντίθετα, στη θέση της παραμέτρου t αντικαθιστούσαμε όλους τους αρνητικούς αριθμούς.

Αν στη θέση της παραμέτρου t αντικαθιστούσαμε όλους τους αριθμούς από το κλειστό διάστημα [0, 1], θα παίρναμε ένα ευθύγραμμο τμήμα που θα έχει μήκος ίσο με το μέτρο του διανύσματος κατεύθυνσης. Θα παίρναμε αυτό το κόκκινο τμήμα:

Παραδείγματα

Έχουμε στο επίπεδο δύο σημεία A(−1, 3) και B(2, 5).

1. Βρες τις παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας p που περνά από τα σημεία A, B. Πρώτα προσδιορίζουμε το διάνυσμα κατεύθυνσης. Παίρνουμε το προσανατολισμένο τμήμα $\overrightarrow{AB}$, και το διάνυσμα κατεύθυνσης $\overrightarrow{u}$ θα έχει έτσι συντεταγμένες

   $$\overrightarrow{u}=(u_1,u_2)=B-A=(2,5)-(-1,3)=(3,2)$$

   Οι παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας έχουν γενικά τη μορφή $X=A+t\cdot \overrightarrow{u}$, και μετά την αντικατάσταση παίρνουμε την εξίσωση

   $$X=(-1,3)+t\cdot (3,2)$$

   που μπορούμε να τη γράψουμε σε σύστημα ως εξής:

   $$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& -1+3t\\ x_2& =& 3+2t\end{array}$$

   Επειδή περιγράφουμε ευθεία, ισχύει t ∈ ℝ. Το σχήμα ακολουθεί λίγο πιο κάτω.

2. Βρες τις παραμετρικές εξισώσεις της ημιευθείας r που έχει αρχή το A και περνά από το σημείο B. Χρησιμοποιούμε τις ίδιες παραμετρικές εξισώσεις, απλώς περιορίζουμε την παράμετρο t. Τώρα το ζήτημα είναι μόνο αν t ∈ [0, +∞) ή t ∈ (−∞, 0].

   Το διάνυσμα κατεύθυνσης το βρήκαμε από το προσανατολισμένο τμήμα $\overrightarrow{AB}$, που σημαίνει ότι η αρχή είναι το A και το πέρας είναι το B. Αυτό είναι ακριβώς όπως το χρειαζόμαστε – και η ημιευθεία μας πρέπει να έχει αρχή το A. Αυτό σημαίνει ότι δεν χρειάζεται να αντιστρέψουμε τη φορά με αρνητικές τιμές της παραμέτρου και έτσι θα πάρουμε την παράμετρο t από το μη αρνητικό διάστημα t ∈ [0, +∞).

   Το σχήμα που περιγράφει τη λύση αυτής και της προηγούμενης άσκησης.

   

3. Βρες το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος AB. Μπορούμε να προχωρήσουμε με δύο τρόπους: να προσθέσουμε τις συντεταγμένες των σημείων A, B και να διαιρέσουμε τις συντεταγμένες που προκύπτουν με το δύο. Ας το κάνουμε:

   $$M=\frac{(-1,3)+(2,5)}{2}=\frac{(1,8)}{2}=(\frac{1}{2},4)$$

   Το ίδιο σημείο όμως μπορούμε να το βρούμε και μέσω του διανύσματος κατεύθυνσης. Αυτό το βρήκαμε από το προσανατολισμένο τμήμα $\overrightarrow{AB}$, που σημαίνει ότι όταν προσθέσουμε $A+\overrightarrow{u}$, παίρνουμε το σημείο B. Αν λοιπόν στο A προσθέσουμε το μισό του διανύσματος κατεύθυνσης, παίρνουμε το μέσο του τμήματος $\overrightarrow{AB}$:

   $$M=A+\frac{1}{2}\overrightarrow{u}=(-1,3)+\frac{1}{2}(3,2)=(-1,3)+(\frac{3}{2},1)=(\frac{1}{2},4)$$

   Βλέπουμε ότι βγήκε το ίδιο σημείο. Για έλεγχο το σχήμα: