Equações paramétricas da reta

A equação paramétrica da reta é a equação básica de uma reta no plano ou no espaço.

Motivação

Como poderíamos descrever uma reta no plano? Sabemos que, para descrever uma reta, bastam dois pontos distintos, que chamaremos, por exemplo, de A e B. Em outras palavras: se temos dois pontos distintos, por esses pontos passa exatamente uma reta p:

Como poderíamos descrever essa reta de outra maneira, usando vetores? Podemos desenhar na figura um vetor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ paralelo à reta p.

Esse vetor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ tem a mesma direção da reta p. Isso é bem legal, mas só a direção não basta. Se caracterizássemos a reta p apenas pelo vetor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, determinaríamos somente a direção da reta, não a sua posição. Não teríamos como distinguir estas três retas:

As novas retas p₁ e p₂ têm a mesma direção da reta p e a mesma direção do vetor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$. Para definir a reta p de forma única, ainda precisamos conhecer pelo menos um ponto que pertença à reta p. Se dizemos que a reta p tem a direção dada pelo vetor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ e passa pelo ponto A, definimos a reta p de forma única. As retas p₁ e p₂ têm a mesma direção, mas nenhuma delas passa pelo ponto A.

Qualquer reta pode ser escrita como $p(A,\overrightarrow{\mathbf{u}})$, em que A é um ponto da reta e $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ é um vetor paralelo à reta. Por exemplo, a reta p₁ poderia ser escrita na forma $p(G,\overrightarrow{\mathbf{u}})$, e a reta p₂ como $p(E,\overrightarrow{\mathbf{u}})$ ou $p(F,\overrightarrow{\mathbf{u}})$ — podemos usar qualquer ponto da reta.

Vetor diretor da reta

Se temos a reta $p(A,\overrightarrow{\mathbf{u}})$, o vetor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ é chamado de vetor diretor da reta. O modo mais simples de encontrar o vetor diretor é achar dois pontos A, B que pertençam à reta p; o vetor diretor será então o segmento orientado $\overrightarrow{AB}$. As coordenadas desse vetor são obtidas pela diferença das coordenadas: $\overrightarrow{\mathbf{u}}=B-A$. Exemplo:

Temos a reta p e sobre ela dois pontos A, B. O vetor diretor será igual ao segmento orientado $\overrightarrow{AB}$, de modo que as coordenadas desse vetor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ são obtidas calculando

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)=(6,6)-(2,4)=(4,2)$$

O vetor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ tem, então, o mesmo módulo do segmento orientado $\overrightarrow{AB}$. Podemos desenhar esse vetor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ na figura assim:

A extremidade do vetor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ tem coordenadas (4, 2), exatamente como calculamos, e vemos que esse vetor é paralelo à reta. O vetor diretor apenas nos mostra a direção da reta ou, talvez melhor, a “inclinação da reta”. O vetor diretor só precisa ser paralelo à reta. Assim, se em vez do segmento orientado $\overrightarrow{AB}$ tomássemos o segmento $\overrightarrow{BA}$, obteríamos o vetor diretor $\overrightarrow{\mathbf{v}}=A-B$:

$$\overrightarrow{\mathbf{v}}=(v_1,v_2)=(2,4)-(6,6)=(-4,-2)$$

Desenhado na figura:

Vemos que o vetor verde $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ é oposto ao vetor azul $\overrightarrow{\mathbf{u}}$. Mesmo assim, ambos são vetores diretores da reta p, pois os dois são paralelos à reta p.

Equações paramétricas da reta

Temos a reta p, o ponto A que pertence a essa reta e o vetor diretor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$. Que ponto obtemos se somamos o ponto A com o vetor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$? Vamos olhar a figura:

Se somamos um ponto que pertence à reta com o vetor diretor, obtemos um ponto X que também pertence a essa reta. Na prática, apenas “deslocamos o ponto A na direção do vetor, por uma distância igual ao módulo do vetor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$”. O ponto X tem, então, coordenadas:

$$X=(x,y)=A+\overrightarrow{\mathbf{u}}=(2,1)+(1,3)=(3,4)$$

O que aconteceria se tomássemos apenas a metade do vetor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ ou o dobro dele? Ou o vetor multiplicado por −1? De novo, a figura mostra:

Vemos que, quando somamos ao ponto A qualquer múltiplo do vetor diretor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, obtemos sempre um ponto que pertence à reta p. O ponto vermelho A representa a “origem”, e os pontos verdes representam os resultados das somas do ponto A com múltiplos do vetor diretor azul $\overrightarrow{\mathbf{u}}$.

Na verdade, qualquer ponto X que escolhermos sobre a reta p pode sempre ser escrito como a soma do ponto A com algum múltiplo t do vetor diretor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, em que t é um número real. Para todos os pontos X da reta p podemos dizer que existe t ∈ ℝ tal que

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}}.$$

Em outras palavras, se substituíssemos t nessa equação, um a um, por todos os números reais, obteríamos todos os pontos que formam a reta p; obteríamos a reta p inteira. Essa equação é chamada de equação paramétrica da reta $p(A,\overrightarrow{\mathbf{u}})$.

A equação anterior pode ser substituída por um sistema de equações. Se o ponto X tem coordenadas (x, y), o ponto A tem coordenadas (a₁, a₂) e o vetor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ tem coordenadas (u₁, u₂), podemos escrever

$$(x,y)=(a_1,a_2)+t\cdot (u_1,u_2),$$

o que pode ser reescrito no sistema já mencionado (expressamos separadamente a coordenada x e a coordenada y):

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2\end{array}$$

Toda reta no plano pode ser expressa por esse sistema de equações.

Restrição do parâmetro

No capítulo anterior vimos que, se na equação paramétrica substituímos o parâmetro t por todos os números reais, obtemos a reta. O que aconteceria se não tomássemos todos os números reais, mas, digamos, apenas metade deles — só os números reais não negativos?

Obteríamos uma semirreta. Voltando a esta figura…

…vemos que, para todos os múltiplos positivos (isto é, parâmetro t positivo) do vetor diretor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, obtivemos pontos X que ficavam “acima” do ponto A. E, ao contrário, se somamos um múltiplo negativo de $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ (isto é, parâmetro t negativo), obtivemos um ponto que fica do “lado oposto”, “abaixo” do ponto A. Se substituíssemos o parâmetro t por todos os números não negativos, isto é, t ∈ [0, +∞[, obteríamos esta semirreta r, destacada em vermelho:

A linha tracejada representa os pontos que obteríamos se, ao contrário, substituíssemos o parâmetro t por todos os números negativos.

Se substituíssemos o parâmetro t por todos os números do intervalo unitário [0, 1], obteríamos um segmento com o mesmo comprimento do módulo do vetor diretor. Obteríamos este segmento vermelho:

Exemplos

Temos no plano dois pontos A(−1, 3) e B(2, 5).

1. Determine a equação paramétrica da reta p que passa pelos pontos A, B. Primeiro determinamos o vetor diretor. Tomamos o segmento orientado $\overrightarrow{AB}$, e o vetor diretor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ terá coordenadas

   $$\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)=B-A=(2,5)-(-1,3)=(3,2)$$

   A equação paramétrica da reta tem, em geral, a forma $X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}}$; substituindo, obtemos a equação

   $$X=(-1,3)+t\cdot (3,2)$$

   que podemos reescrever como o sistema:

   $$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& -1+3t\\ x_2& =& 3+2t\end{array}$$

   Como estamos descrevendo uma reta, t ∈ ℝ. A figura vem um pouco mais abaixo.

2. Determine a equação paramétrica da semirreta r que tem origem em A e passa pelo ponto B. Usamos a mesma equação paramétrica, apenas restringimos o parâmetro t. Agora só importa se t ∈ [0, +∞[ ou t ∈ ]−∞, 0].

   Obtivemos o vetor diretor do segmento orientado $\overrightarrow{AB}$, o que significa que a origem é A e a extremidade é B. É exatamente como precisamos: nossa semirreta também deve ter origem em A. Isso quer dizer que não precisamos inverter o sentido com valores negativos do parâmetro e, portanto, tomamos o parâmetro t no intervalo não negativo t ∈ [0, +∞[.

   Figura que descreve a resolução deste exercício e do anterior.

   

3. Encontre o ponto médio do segmento AB. Podemos proceder de duas maneiras: somar as coordenadas dos pontos A, B e dividir as coordenadas resultantes por dois. Vamos fazer isso:

   $$M=\frac{(-1,3)+(2,5)}{2}=\frac{(1,8)}{2}=(\frac{1}{2},4)$$

   Mas podemos obter o mesmo ponto também pelo vetor diretor. Nós o obtivemos do segmento orientado $\overrightarrow{AB}$, o que significa que, somando $A+\overrightarrow{\mathbf{u}}$, obtemos o ponto B. Assim, se somamos a A a metade do vetor diretor, obtemos o ponto médio do segmento $\overrightarrow{AB}$:

   $$M=A+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathbf{u}}=(-1,3)+\frac{1}{2}(3,2)=(-1,3)+(\frac{3}{2},1)=(\frac{1}{2},4)$$

   Vemos que saiu o mesmo ponto. Para conferir, a figura: