Parametervoorstelling van een lijn

De parametervoorstelling (of vectorvoorstelling) van een lijn is de basisvergelijking van een lijn in het vlak of in de ruimte.

Motivatie

Hoe kunnen we een lijn in het vlak beschrijven? We weten dat twee verschillende punten genoeg zijn om een lijn vast te leggen, noem ze bijvoorbeeld A en B. Anders gezegd: als we twee verschillende punten hebben, gaat er door die punten precies één lijn p:

Hoe kunnen we deze lijn anders beschrijven, met behulp van vectoren? We kunnen in de tekening een vector $\overrightarrow{u}$ bijtekenen die evenwijdig is aan lijn p.

Deze vector $\overrightarrow{u}$ heeft dezelfde richting als lijn p. Dat is mooi, maar de richting alleen is niet genoeg. Als we lijn p alleen met de vector $\overrightarrow{u}$ zouden beschrijven, zouden we alleen de richting van de lijn vastleggen, niet de precieze ligging. We zouden deze drie lijnen niet kunnen onderscheiden:

De nieuwe lijnen p₁ en p₂ hebben dezelfde richting als lijn p en dezelfde richting als de vector $\overrightarrow{u}$. Om lijn p eenduidig vast te leggen moeten we ook minstens één punt kennen dat op lijn p ligt. Als we zeggen dat lijn p de richting heeft die door de vector $\overrightarrow{u}$ wordt beschreven en door het punt A gaat, leggen we lijn p eenduidig vast. De lijnen p₁ en p₂ hebben weliswaar dezelfde richting, maar geen van beide gaat door punt A.

Elke lijn kunnen we schrijven als $p(A,\overrightarrow{u})$, waarbij A een punt op de lijn is en $\overrightarrow{u}$ een vector die evenwijdig is aan de lijn. Lijn p₁ zouden we bijvoorbeeld kunnen schrijven als $p(G,\overrightarrow{u})$ en lijn p₂ als $p(E,\overrightarrow{u})$ of $p(F,\overrightarrow{u})$ — we mogen elk punt op de lijn gebruiken.

Richtingsvector van een lijn

Als we een lijn $p(A,\overrightarrow{u})$ hebben, noemen we de vector $\overrightarrow{u}$ een richtingsvector van de lijn. Het eenvoudigst vinden we een richtingsvector door twee punten A, B te zoeken die op lijn p liggen. De richtingsvector is dan het gerichte lijnstuk $\overrightarrow{AB}$. De coördinaten van deze vector vinden we door de coördinaten van elkaar af te trekken: $\overrightarrow{u}=B-A$. Voorbeeld:

We hebben een lijn p en daarop liggen twee punten A, B. De richtingsvector is gelijk aan het gerichte lijnstuk $\overrightarrow{AB}$, dus de coördinaten van zo'n vector $\overrightarrow{u}$ vinden we door te berekenen

$$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)=(6,6)-(2,4)=\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)$$

De vector $\overrightarrow{u}$ is dan even lang als het gerichte lijnstuk $\overrightarrow{AB}$. Deze vector $\overrightarrow{u}$ kunnen we zo in de tekening zetten:

Het eindpunt van de vector $\overrightarrow{u}$ heeft de coördinaten (4, 2), precies zoals we hebben berekend, en je ziet dat deze vector evenwijdig is aan de lijn. De richtingsvector laat ons alleen de richting van de lijn zien, of misschien beter — de “helling” van de lijn. De richtingsvector hoeft alleen maar evenwijdig te zijn aan de lijn. Als we dus in plaats van het gerichte lijnstuk $\overrightarrow{AB}$ het lijnstuk $\overrightarrow{BA}$ hadden genomen, hadden we de richtingsvector $\overrightarrow{v}=A-B$ gekregen:

$$\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)=(2,4)-(6,6)=\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\end{array}\right)$$

In de tekening:

We zien dat de groene vector $\overrightarrow{v}$ tegengesteld is aan de blauwe vector $\overrightarrow{u}$. Toch zijn het allebei richtingsvectoren van lijn p, want ze zijn allebei evenwijdig aan lijn p.

Parametervoorstelling van een lijn

We hebben een lijn p, een punt A dat op deze lijn ligt en een richtingsvector $\overrightarrow{u}$. Welk punt krijgen we als we punt A en vector $\overrightarrow{u}$ bij elkaar optellen? Kijk naar de tekening:

Als we een punt dat op de lijn ligt optellen bij een richtingsvector, krijgen we een punt X dat ook op deze lijn ligt. Eigenlijk “verschuiven” we gewoon punt A in de richting van de vector over een afstand ter grootte van de lengte van de vector $\overrightarrow{u}$. Punt X heeft dus de coördinaten:

$$X=(x,y)=A+\overrightarrow{u}=(2,1)+\left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right)=(3,4)$$

Wat gebeurt er als we maar de helft van de vector $\overrightarrow{u}$ nemen, of het dubbele? Of het −1-voud? Ook dat laat de tekening zien:

We zien dat als we bij punt A een willekeurig veelvoud van de richtingsvector $\overrightarrow{u}$ optellen, we altijd een punt krijgen dat op lijn p ligt. Het rode punt A stelt de “start” voor, de groene punten stellen de uitkomsten voor van de sommen van punt A met veelvouden van de blauwe richtingsvector $\overrightarrow{u}$.

In feite geldt: welk punt X op lijn p we ook kiezen, we kunnen dit punt altijd schrijven als de som van punt A en een t-voud van de richtingsvector $\overrightarrow{u}$, waarbij t een reëel getal is. Voor alle punten X op lijn p kunnen we zeggen dat er een t ∈ ℝ bestaat zodat

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{u}.$$

Met andere woorden — als we in deze vergelijking voor t achtereenvolgens alle reële getallen invullen, krijgen we alle punten die lijn p vormen; we krijgen de hele lijn p. Deze vergelijking heet de parametervoorstelling van de lijn $p(A,\overrightarrow{u})$. De plaatsvector van punt A heet hierin ook de steunvector en $\overrightarrow{u}$ de richtingsvector.

De vorige vergelijking kunnen we vervangen door een stelsel van vergelijkingen. Als punt X de coördinaten (x, y) heeft, punt A de coördinaten (a₁, a₂) en de vector $\overrightarrow{u}$ de coördinaten $\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)$, dan kunnen we schrijven

$$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right),$$

wat we verder kunnen omschrijven naar het eerder genoemde stelsel vergelijkingen (we drukken de x-coördinaat en de y-coördinaat apart uit):

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2\end{array}$$

Elke lijn in het vlak kan met dit stelsel vergelijkingen worden beschreven.

Beperking van de parameter

In het vorige hoofdstuk zeiden we dat we een lijn krijgen als we in de parametervoorstelling voor de parameter t alle reële getallen invullen. Wat zou er gebeuren als we niet alle reële getallen namen, maar zeg maar de helft ervan — alleen de niet-negatieve reële getallen?

We zouden een halve lijn krijgen. Als we teruggaan naar deze tekening…

…zien we dat we voor alle positieve veelvouden (dus positieve parameter t) van de richtingsvector $\overrightarrow{u}$ punten X kregen die “boven” punt A lagen. En omgekeerd — als we een negatief veelvoud van $\overrightarrow{u}$ (dus negatieve parameter t) optelden, kregen we een punt aan de “andere kant”, “onder” punt A. Als we voor de parameter t alle niet-negatieve getallen invullen, dus t ∈ [0, → ⟩, krijgen we zo'n, rood gemarkeerde, halve lijn r:

De onderbroken lijn geeft de punten aan die we zouden krijgen als we voor de parameter t juist alle negatieve getallen invulden.

Als we voor de parameter t alle getallen uit het eenheidsinterval [0, 1] invullen, krijgen we een lijnstuk dat even lang is als de richtingsvector. We krijgen dit rode lijnstuk:

Voorbeelden

In het vlak hebben we twee punten A(−1, 3) en B(2, 5).

1. Bepaal de parametervoorstelling van de lijn p door de punten A, B. Eerst bepalen we de richtingsvector. We nemen het gerichte lijnstuk $\overrightarrow{AB}$, en de richtingsvector $\overrightarrow{u}$ heeft dan de coördinaten

   $$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)=B-A=(2,5)-(-1,3)=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)$$

   De parametervoorstelling van een lijn heeft in het algemeen de vorm $X=A+t\cdot \overrightarrow{u}$, en na invullen krijgen we de vergelijking

   $$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)$$

   die we zo kunnen omschrijven naar een stelsel:

   $$\begin{array}{rcl}x& =& -1+3t\\ y& =& 3+2t\end{array}$$

   Omdat we een lijn beschrijven, geldt t ∈ ℝ. De tekening volgt iets lager.

2. Bepaal de parametervoorstelling van de halve lijn r die beginpunt A heeft en door punt B gaat. We gebruiken dezelfde parametervoorstelling, maar beperken de parameter t. Het gaat er nu alleen om of t ∈ [0, → ⟩ of t ∈ ⟨ ← , 0].

   We hebben de richtingsvector gekregen uit het gerichte lijnstuk $\overrightarrow{AB}$, wat betekent dat het beginpunt A is en het eindpunt B. Dat is precies wat we nodig hebben — onze halve lijn moet ook beginpunt A hebben. Dat betekent dat we de richting niet met negatieve waarden van de parameter hoeven om te draaien, en dat we de parameter t uit het niet-negatieve interval nemen: t ∈ [0, → ⟩.

   De tekening bij de oplossing van deze en de vorige opgave:

   

3. Bepaal het midden van lijnstuk AB. We kunnen op twee manieren te werk gaan: de coördinaten van de punten A, B optellen en de uitkomst door twee delen. Laten we dat doen:

   $$M=\frac{(-1,3)+(2,5)}{2}=\frac{(1,8)}{2}=(\frac{1}{2},4)$$

   Hetzelfde punt kunnen we ook vinden via de richtingsvector. Die hebben we gekregen uit het gerichte lijnstuk $\overrightarrow{AB}$, wat betekent dat we punt B krijgen als we $A+\overrightarrow{u}$ optellen. Als we dus bij A de helft van de richtingsvector optellen, krijgen we het midden van het lijnstuk $\overrightarrow{AB}$:

   $$M=A+\frac{1}{2}\overrightarrow{u}=(-1,3)+\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)=(-1,3)+\left(\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\ 1\end{array}\right)=(\frac{1}{2},4)$$

   We zien dat we hetzelfde punt hebben gekregen. Ter controle de tekening: