Az egyenes paraméteres egyenlete

Az egyenes paraméteres egyenlete a síkbeli vagy térbeli egyenes alapvető egyenlete.

Motiváció

Hogyan írhatnánk le egy egyenest a síkban? Tudjuk, hogy az egyenes megadásához elég két különböző pont, jelöljük őket például A-val és B-vel. Másképp: ha adott két különböző pont, akkor ezeken a pontokon át pontosan egy p egyenes húzható:

Hogyan írhatnánk le ezt az egyenest másképp, vektorok segítségével? Berajzolhatjuk az ábrába az $\overrightarrow{u}$ vektort, amely párhuzamos a p egyenessel.

Ennek az $\overrightarrow{u}$ vektornak ugyanaz az iránya, mint a p egyenesnek. Ez egész jó, csakhogy az irány önmagában nem elég. Ha a p egyenest csak az $\overrightarrow{u}$ vektorral jellemeznénk, csak az egyenes irányát határoznánk meg, a konkrét elhelyezkedését nem. Nem tudnánk megkülönböztetni ezt a három egyenest:

Az új p₁ és p₂ egyenesnek ugyanaz az iránya, mint a p egyenesnek és az $\overrightarrow{u}$ vektornak. Ahhoz, hogy a p egyenest egyértelműen megadjuk, még legalább egy, a p egyenesen fekvő pontot is ismernünk kell. Ha azt mondjuk, hogy a p egyenes iránya az $\overrightarrow{u}$ vektorral írható le, és átmegy az A ponton, akkor ezzel egyértelműen megadtuk a p egyenest. A p₁ és p₂ egyenes ugyan azonos irányú, de egyik sem megy át az A ponton.

Bármely egyenest felírhatjuk $p(A,\overrightarrow{u})$ alakban, ahol A az egyenesen fekvő pont, $\overrightarrow{u}$ pedig az egyenessel párhuzamos vektor. Például a p₁ egyenest felírhatnánk $p(G,\overrightarrow{u})$ alakban, a p₂ egyenest pedig $p(E,\overrightarrow{u})$ vagy $p(F,\overrightarrow{u})$ alakban – használhatjuk az egyenes bármely pontját.

Az egyenes irányvektora

Ha adott a $p(A,\overrightarrow{u})$ egyenes, akkor az $\overrightarrow{u}$ vektort az egyenes irányvektorának nevezzük. Az irányvektort a legegyszerűbben úgy találjuk meg, hogy keresünk két, a p egyenesen fekvő pontot, A, B, és az irányvektor az $\overrightarrow{AB}$ irányított szakasz lesz. Ennek a vektornak a koordinátáit a koordináták különbsége adja: $\overrightarrow{u}=B-A$. Példa:

Adott a p egyenes, és rajta két pont, A, B. Az irányvektor megegyezik az $\overrightarrow{AB}$ irányított szakasszal, ezért az $\overrightarrow{u}$ vektor koordinátáit úgy kapjuk meg, hogy kiszámítjuk

$$\overrightarrow{u}(u_1;u_2)=(6;6)-(2;4)=(4;2)$$

Az $\overrightarrow{u}$ vektor hossza ekkor ugyanakkora, mint az $\overrightarrow{AB}$ irányított szakaszé. Ezt az $\overrightarrow{u}$ vektort így rajzolhatjuk az ábrába:

Az $\overrightarrow{u}$ vektor végpontjának koordinátái (4; 2), pontosan úgy, ahogy kiszámítottuk, és látszik, hogy a vektor párhuzamos az egyenessel. Az irányvektor csak az egyenes irányát mutatja, vagy talán jobban mondva – az egyenes „dőlését”. Az irányvektornak csak párhuzamosnak kell lennie az egyenessel. Ha tehát az $\overrightarrow{AB}$ irányított szakasz helyett a $\overrightarrow{BA}$ szakaszt vennénk, a $\overrightarrow{v}=A-B$ irányvektort kapnánk:

$$\overrightarrow{v}(v_1;v_2)=(2;4)-(6;6)=(-4;-2)$$

Berajzolva az ábrába:

Látjuk, hogy a zöld $\overrightarrow{v}$ vektor ellentétes a kék $\overrightarrow{u}$ vektorral. Mégis mindkettő a p egyenes irányvektora, mert mindkettő párhuzamos a p egyenessel.

Az egyenes paraméteres egyenlete

Adott a p egyenes, az A pont, amely ezen az egyenesen fekszik, és az $\overrightarrow{u}$ irányvektor. Milyen pontot kapunk, ha az A ponthoz hozzáadjuk az $\overrightarrow{u}$ vektort? Nézzük az ábrát:

Ha az egyenesen fekvő ponthoz hozzáadjuk az irányvektort, megkapjuk az X pontot, amely szintén ezen az egyenesen fekszik. Lényegében csak „eltoljuk az A pontot a vektor irányában az $\overrightarrow{u}$ vektor hosszának megfelelő távolsággal”. Az X pont koordinátái tehát:

$$X=(x;y)=A+\overrightarrow{u}=(2;1)+(1;3)=(3;4)$$

Mi történne, ha az $\overrightarrow{u}$ vektornak csak a felét vennénk, vagy a kétszeresét? Vagy a −1-szeresét? Ezt is az ábra mutatja:

Látjuk, hogy ha az A ponthoz hozzáadjuk az irányvektor, $\overrightarrow{u}$ bármelyik többszörösét, mindig a p egyenes egy pontját kapjuk. A piros A pont a „kezdet”, a zöld pontok pedig az A pont és a kék $\overrightarrow{u}$ irányvektor többszöröseinek összegei.

Valójában bármelyik, a p egyenesen fekvő X pontot választjuk, ez a pont mindig felírható az A pont és az $\overrightarrow{u}$ irányvektor valamilyen t-szeresének összegeként, ahol t valós szám. A p egyenes minden X pontjára elmondhatjuk, hogy létezik olyan t ∈ ℝ, hogy

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{u}.$$

Más szóval – ha ebbe az egyenletbe sorra behelyettesítenénk t helyére az összes valós számot, megkapnánk a p egyenes összes pontját; megkapnánk az egész p egyenest. Ezt az egyenletet nevezzük a $p(A,\overrightarrow{u})$ egyenes paraméteres egyenletének.

Az előző egyenletet helyettesíthetjük egyenletrendszerrel. Ha az X pont koordinátái (x; y), az A pont koordinátái (a₁; a₂), és az $\overrightarrow{u}$ vektor koordinátái (u₁; u₂), akkor felírhatjuk, hogy

$$(x;y)=(a_1;a_2)+t\cdot (u_1;u_2),$$

ami átírható a már említett egyenletrendszerré (külön fejezzük ki az x és külön az y koordinátát):

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2\end{array}$$

A sík bármely egyenese kifejezhető ezzel az egyenletrendszerrel.

A paraméter korlátozása

Az előző fejezetben megállapítottuk, hogy ha a paraméteres egyenletben a t paraméter helyére az összes valós számot behelyettesítjük, egyenest kapunk. Mi történne, ha nem az összes valós számot vennénk, hanem mondjuk csak a felüket – csak a nemnegatív valós számokat?

Félegyenest kapnánk. Ha visszatérünk ehhez az ábrához…

…látjuk, hogy az $\overrightarrow{u}$ irányvektor minden pozitív többszörösére (azaz pozitív t paraméterre) olyan X pontokat kaptunk, amelyek az A pont „fölött” voltak. És fordítva – ha az $\overrightarrow{u}$ negatív többszörösét adtuk hozzá (azaz negatív t paramétert), akkor olyan pontot kaptunk, amely a „másik oldalon”, az A pont „alatt” van. Ha a t paraméter helyére az összes nemnegatív számot behelyettesítjük, azaz t ∈ [0; +∞[, akkor egy ilyen, pirossal kiemelt r félegyenest kapnánk:

A szaggatott vonal azokat a pontokat jelöli, amelyeket akkor kapnánk, ha a t paraméter helyére fordítva az összes negatív számot helyettesítenénk be.

Ha a t paraméter helyére a [0; 1] egységintervallum összes számát helyettesítenénk be, olyan szakaszt kapnánk, amely ugyanolyan hosszú, mint az irányvektor. Ezt a piros szakaszt kapnánk:

Példák

Adott a síkban két pont, A(−1; 3) és B(2; 5).

1. Határozd meg az A, B pontokon átmenő p egyenes paraméteres egyenletét. Először meghatározzuk az irányvektort. Vesszük az $\overrightarrow{AB}$ irányított szakaszt, és az $\overrightarrow{u}$ irányvektor koordinátái így alakulnak:

   $$\overrightarrow{u}(u_1;u_2)=B-A=(2;5)-(-1;3)=(3;2)$$

   Az egyenes paraméteres egyenlete általában $X=A+t\cdot \overrightarrow{u}$ alakú, behelyettesítés után tehát az egyenlet

   $$X=(-1;3)+t\cdot (3;2)$$

   amit így írhatunk át egyenletrendszerré:

   $$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& -1+3t\\ x_2& =& 3+2t\end{array}$$

   Mivel egyenest írunk le, t ∈ ℝ. Az ábra egy kicsit lejjebb következik.

2. Határozd meg annak az r félegyenesnek a paraméteres egyenletét, amelynek kezdőpontja A, és átmegy a B ponton. Ugyanazt a paraméteres egyenletet használjuk, csak a t paramétert korlátozzuk. Most már csak az a kérdés, hogy t ∈ [0; +∞[ vagy t ∈ ]−∞; 0].

   Az irányvektort az $\overrightarrow{AB}$ irányított szakaszból kaptuk, ami azt jelenti, hogy a kezdőpontja A, a végpontja pedig B. Pontosan ez kell nekünk – a félegyenesünknek is A a kezdőpontja. Ez azt jelenti, hogy nem kell negatív paraméterértékekkel megfordítanunk az irányt, és a t paramétert a nemnegatív t ∈ [0; +∞[ intervallumból vesszük.

   Az ábra, amely ennek és az előző feladatnak a megoldását mutatja.

   

3. Keresd meg az AB szakasz felezőpontját. Két módon járhatunk el: összeadjuk az A, B pontok koordinátáit, és az eredményül kapott koordinátákat elosztjuk kettővel. Tegyük meg:

   $$F=\frac{(-1;3)+(2;5)}{2}=\frac{(1;8)}{2}=(\frac{1}{2};4)$$

   Ugyanezt a pontot megkaphatjuk az irányvektor segítségével is. Azt az $\overrightarrow{AB}$ irányított szakaszból kaptuk, ami azt jelenti, hogy ha kiszámítjuk az $A+\overrightarrow{u}$ összeget, megkapjuk a B pontot. Ha tehát az A ponthoz hozzáadjuk az irányvektor felét, megkapjuk az $\overrightarrow{AB}$ szakasz felezőpontját:

   $$F=A+\frac{1}{2}\overrightarrow{u}=(-1;3)+\frac{1}{2}(3;2)=(-1;3)+(\frac{3}{2};1)=(\frac{1}{2};4)$$

   Látjuk, hogy ugyanaz a pont jött ki. Ellenőrzésként az ábra: