Doğrunun Parametrik Denklemi

Doğrunun parametrik denklemi, düzlemde ya da uzayda doğrunun temel denklemlerinden biridir.

Motivasyon

Düzlemde bir doğruyu nasıl tanımlayabiliriz? Bir doğruyu tanımlamak için iki farklı noktanın yettiğini biliyoruz, bunlara örneğin A ve B diyelim. Başka türlü söylersek: iki farklı noktamız varsa bu noktalardan tam olarak bir p doğrusu geçer:

Bu doğruyu vektörler kullanarak başka nasıl tanımlayabiliriz? Şekle p doğrusuna paralel bir $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ vektörü ekleyebiliriz.

Bu $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ vektörü, p doğrusuyla aynı yöne sahiptir. Bu güzel, ama yalnızca yön bize yetmez. p doğrusunu yalnızca $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ vektörüyle tanımlarsak doğrunun yalnızca doğrultusunu belirleriz, tam olarak nerede durduğunu değil. Şu üç doğruyu birbirinden ayıramazdık:

Yeni p₁ ve p₂ doğruları, p doğrusuyla ve $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ vektörüyle aynı doğrultudadır. p doğrusunu tek türlü belirlemek için p doğrusu üzerindeki en az bir noktayı da bilmemiz gerekir. p doğrusunun doğrultusu $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ vektörüyle verilmişse ve doğru A noktasından geçiyorsa, p doğrusunu tek türlü belirlemiş oluruz. p₁ ve p₂ doğruları aynı doğrultudadır, ama hiçbiri A noktasından geçmez.

Herhangi bir doğruyu $p(A,\overrightarrow{\mathbf{u}})$ diye yazabiliriz; burada A doğru üzerindeki bir nokta, $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ ise doğruya paralel bir vektördür. Örneğin p₁ doğrusunu $p(G,\overrightarrow{\mathbf{u}})$ biçiminde, p₂ doğrusunu $p(E,\overrightarrow{\mathbf{u}})$ ya da $p(F,\overrightarrow{\mathbf{u}})$ biçiminde yazabiliriz. Doğru üzerindeki herhangi bir noktayı kullanabiliriz.

Doğrunun Yön Vektörü

$p(A,\overrightarrow{\mathbf{u}})$ doğrusu verilmişse $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ vektörüne doğrunun yön vektörü denir. Yön vektörünü bulmanın en kolay yolu, p doğrusu üzerindeki A, B gibi iki nokta bulmaktır; yön vektörü de $\overrightarrow{AB}$ yönlü doğru parçası olur. Bu vektörün koordinatlarını koordinatların farkından buluruz: $\overrightarrow{\mathbf{u}}=B-A$. Örnek:

p doğrusu ve üzerinde iki nokta A, B var. Yön vektörü $\overrightarrow{AB}$ yönlü doğru parçasına eşit olur, yani bu $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ vektörünün koordinatlarını şöyle hesaplayarak buluruz:

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)=(6,6)-(2,4)=(4,2)$$

$\overrightarrow{\mathbf{u}}$ vektörünün uzunluğu $\overrightarrow{AB}$ yönlü doğru parçasının uzunluğuyla aynıdır. Bu $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ vektörünü şekle şöyle çizebiliriz:

$\overrightarrow{\mathbf{u}}$ vektörünün bitim noktasının koordinatları, hesapladığımız gibi tam olarak (4, 2)’dir ve bu vektörün doğruya paralel olduğu görülüyor. Yön vektörü bize yalnızca doğrunun yönünü, ya da belki daha iyisi doğrunun “eğimini” gösterir. Yön vektörünün yalnızca doğruya paralel olması gerekir. Yani $\overrightarrow{AB}$ yönlü doğru parçası yerine $\overrightarrow{BA}$ parçasını alsaydık yön vektörü $\overrightarrow{\mathbf{v}}=A-B$ çıkardı:

$$\overrightarrow{\mathbf{v}}=(v_1,v_2)=(2,4)-(6,6)=(-4,-2)$$

Şekilde çizilmiş hali:

Yeşil $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ vektörünün mavi $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ vektörünün tersi olduğunu görüyoruz. Yine de ikisi de p doğrusunun yön vektörüdür, çünkü ikisi de p doğrusuna paraleldir.

Doğrunun Parametrik Denklemi

p doğrumuz, bu doğru üzerindeki A noktası ve bir $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ yön vektörümüz var. A noktasını $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ vektörüyle toplarsak hangi noktayı elde ederiz? Şekle bakalım:

Doğru üzerindeki bir noktayı yön vektörüyle toplarsak yine bu doğru üzerinde bulunan bir X noktasını elde ederiz. Aslında yalnızca “A noktasını vektörün yönünde, $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ vektörünün uzunluğu kadar kaydırıyoruz”. Yani X noktasının koordinatları şöyledir:

$$X=(x,y)=A+\overrightarrow{\mathbf{u}}=(2,1)+(1,3)=(3,4)$$

$\overrightarrow{\mathbf{u}}$ vektörünün yalnızca yarısını ya da iki katını alsaydık ne olurdu? Ya da −1 katını? Yine şekil gösteriyor:

A noktasını $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ yön vektörünün herhangi bir katıyla toplarsak her zaman p doğrusu üzerinde bir nokta elde ettiğimizi görüyoruz. Kırmızı A noktası “başlangıcı” gösterir, yeşil noktalar ise A noktasının mavi $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ yön vektörünün katlarıyla toplamlarının sonuçlarını gösterir.

Gerçekte p doğrusu üzerinde hangi X noktasını seçersek seçelim, bu noktayı her zaman A noktasıyla $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ yön vektörünün bir t katının toplamı olarak yazabiliriz; burada t bir gerçek sayıdır. p doğrusu üzerindeki tüm X noktaları için şu özelliği sağlayan bir t ∈ ℝ vardır:

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}}.$$

Başka bir deyişle, bu denklemde t yerine sırayla tüm gerçek sayıları yazarsak p doğrusunu oluşturan tüm noktaları elde ederiz; yani p doğrusunun tamamını elde ederiz. Bu denkleme $p(A,\overrightarrow{\mathbf{u}})$ doğrusunun parametrik denklemi denir.

Önceki denklemi bir denklem sistemiyle değiştirebiliriz. X noktasının koordinatları (x, y), A noktasının koordinatları (a₁, a₂) ve $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ vektörünün koordinatları (u₁, u₂) ise şunu yazabiliriz:

$$(x,y)=(a_1,a_2)+t\cdot (u_1,u_2),$$

bunu da daha önce söz ettiğimiz denklem sistemi biçiminde yazabiliriz (x koordinatını ve y koordinatını ayrı ayrı ifade ederiz):

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2\end{array}$$

Düzlemdeki her doğru bu denklem sistemiyle ifade edilebilir.

Parametrenin Kısıtlanması

Önceki bölümde, parametrik denklemde t parametresi yerine tüm gerçek sayıları yazarsak doğruyu elde ettiğimizi söylemiştik. Peki gerçek sayıların hepsini değil de, diyelim ki yalnızca yarısını, yani yalnızca negatif olmayan gerçek sayıları alsaydık ne olurdu?

Bir ışın elde ederdik. Şu şekle dönersek…

…$\overrightarrow{\mathbf{u}}$ yön vektörünün tüm pozitif katları için (yani pozitif t parametresi için) A noktasının “üstünde” kalan X noktaları elde ettiğimizi görürüz. Tersine, $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ vektörünün negatif bir katını eklersek (yani negatif t parametresi için) “karşı tarafta”, A noktasının “altında” kalan bir nokta elde ederiz. t parametresi yerine tüm negatif olmayan sayıları, yani t ∈ [0, ∞) değerlerini yazarsak şu kırmızıyla vurgulanmış r ışınını elde ederdik:

Kesik çizgi, t parametresi yerine bunun tersine tüm negatif sayıları yazsaydık elde edeceğimiz noktaları gösterir.

t parametresi yerine [0, 1] birim aralığındaki tüm sayıları yazsaydık, uzunluğu yön vektörünün uzunluğuna eşit bir doğru parçası elde ederdik. Şu kırmızı doğru parçasını elde ederdik:

Örnekler

Düzlemde iki nokta verilsin: A(−1, 3) ve B(2, 5).

1. A, B noktalarından geçen p doğrusunun parametrik denklemini bul. Önce yön vektörünü belirleriz. $\overrightarrow{AB}$ yönlü doğru parçasını alırız, $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ yön vektörünün koordinatları da şöyle olur:

   $$\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)=B-A=(2,5)-(-1,3)=(3,2)$$

   Doğrunun parametrik denklemi genel olarak $X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}}$ biçimindedir, yerine yazınca şu denklemi elde ederiz:

   $$X=(-1,3)+t\cdot (3,2)$$

   Bunu denklem sistemi olarak şöyle yazabiliriz:

   $$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& -1+3t\\ x_2& =& 3+2t\end{array}$$

   Bir doğruyu tanımladığımız için t ∈ ℝ olur. Şekil biraz aşağıda.

2. Başlangıç noktası A olan ve B noktasından geçen r ışınının parametrik denklemini bul. Aynı parametrik denklemi kullanırız, yalnızca t parametresini kısıtlarız. Şimdi mesele, t ∈ [0, ∞) mi yoksa t ∈ (−∞, 0] mı olacağıdır.

   Yön vektörünü $\overrightarrow{AB}$ yönlü doğru parçasından elde ettik, yani başlangıç noktası A, bitim noktası B’dir. İhtiyacımız olan da tam olarak budur, çünkü ışınımızın da başlangıç noktası A olmalıdır. Bu yüzden parametrenin negatif değerleriyle yönü çevirmemize gerek yok ve t parametresini negatif olmayan t ∈ [0, ∞) aralığından alırız.

   Bu ve önceki sorunun çözümünü gösteren şekil.

   

3. AB doğru parçasının orta noktasını bul. İki yolla ilerleyebiliriz: A, B noktalarının koordinatlarını toplayıp çıkan koordinatları ikiye böleriz. Hadi yapalım:

   $$S=\frac{(-1,3)+(2,5)}{2}=\frac{(1,8)}{2}=(\frac{1}{2},4)$$

   Aynı noktayı yön vektörü üzerinden de elde edebiliriz. Yön vektörünü $\overrightarrow{AB}$ yönlü doğru parçasından elde ettik, yani $A+\overrightarrow{\mathbf{u}}$ toplamı bize B noktasını verir. O halde A noktasına yön vektörünün yarısını eklersek $\overrightarrow{AB}$ parçasının orta noktasını elde ederiz:

   $$S=A+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathbf{u}}=(-1,3)+\frac{1}{2}(3,2)=(-1,3)+(\frac{3}{2},1)=(\frac{1}{2},4)$$

   Aynı noktanın çıktığını görüyoruz. Kontrol için şekil: