Ecuațiile parametrice ale dreptei

Ecuațiile parametrice ale dreptei sunt o formă de bază de a scrie ecuația unei drepte în plan sau în spațiu.

Motivație

Cum am putea descrie o dreaptă în plan? Știm că pentru a descrie o dreaptă ne sunt de ajuns două puncte distincte, să le notăm de exemplu A și B. Altfel spus: dacă avem două puncte distincte, prin ele trece exact o dreaptă p:

Cum am putea descrie această dreaptă altfel, cu ajutorul vectorilor? Putem desena în figură un vector $\overrightarrow{u}$ paralel cu dreapta p.

Acest vector $\overrightarrow{u}$ are aceeași direcție ca dreapta p. E foarte bine, dar direcția singură nu ne ajunge. Dacă am caracteriza dreapta p doar prin vectorul $\overrightarrow{u}$, am stabili doar direcția dreptei, nu și poziția ei concretă. N-am avea cum să deosebim aceste trei drepte:

Noile drepte p₁ și p₂ au aceeași direcție ca dreapta p și ca vectorul $\overrightarrow{u}$. Pentru a defini dreapta p fără ambiguitate, mai avem nevoie să cunoaștem cel puțin un punct de pe dreapta p. Dacă spunem că dreapta p are direcția dată de vectorul $\overrightarrow{u}$ și trece prin punctul A, o definim astfel fără ambiguitate. Dreptele p₁ și p₂ au aceeași direcție, dar niciuna nu trece prin punctul A.

Orice dreaptă o putem scrie ca $p(A,\overrightarrow{u})$, unde A este un punct al dreptei, iar $\overrightarrow{u}$ este un vector paralel cu dreapta. De exemplu, dreapta p₁ am putea-o scrie sub forma $p(G,\overrightarrow{u})$, iar dreapta p₂ ca $p(E,\overrightarrow{u})$ sau $p(F,\overrightarrow{u})$ – putem folosi orice punct al dreptei.

Vectorul director al dreptei

Dacă avem dreapta $p(A,\overrightarrow{u})$, vectorul $\overrightarrow{u}$ se numește vectorul director al dreptei. Cel mai simplu găsim un vector director luând două puncte A, B aflate pe dreapta p; vectorul director va fi atunci segmentul orientat $\overrightarrow{AB}$. Coordonatele acestui vector se obțin ca diferență a coordonatelor: $\overrightarrow{u}=B-A$. Exemplu:

Avem dreapta p și pe ea două puncte A, B. Vectorul director va fi egal cu segmentul orientat $\overrightarrow{AB}$, deci coordonatele vectorului $\overrightarrow{u}$ le aflăm calculând

$$\overrightarrow{u}(u_1,u_2)=(6,6)-(2,4)=(4,2)$$

Vectorul $\overrightarrow{u}$ are atunci aceeași lungime ca segmentul orientat $\overrightarrow{AB}$. Acest vector $\overrightarrow{u}$ îl putem desena în figură astfel:

Extremitatea vectorului $\overrightarrow{u}$ are coordonatele (4, 2), exact cum am calculat, și se vede că acest vector este paralel cu dreapta. Vectorul director ne arată doar direcția dreptei, sau poate mai bine – „înclinarea dreptei”. Vectorul director trebuie doar să fie paralel cu dreapta. Deci, dacă în loc de segmentul orientat $\overrightarrow{AB}$ am lua segmentul $\overrightarrow{BA}$, ne-ar ieși vectorul director $\overrightarrow{v}=A-B$:

$$\overrightarrow{v}(v_1,v_2)=(2,4)-(6,6)=(-4,-2)$$

Desenat în figură:

Vedem că vectorul verde $\overrightarrow{v}$ este opusul vectorului albastru $\overrightarrow{u}$. Totuși, amândoi sunt vectori directori ai dreptei p, deoarece amândoi sunt paraleli cu dreapta p.

Ecuațiile parametrice ale dreptei

Avem dreapta p, punctul A aflat pe această dreaptă și vectorul director $\overrightarrow{u}$. Ce punct obținem dacă adunăm punctul A cu vectorul $\overrightarrow{u}$? Să ne uităm la figură:

Dacă adunăm un punct aflat pe dreaptă cu vectorul director, obținem un punct X care se află tot pe această dreaptă. În fond, doar „deplasăm punctul A în sensul vectorului cu o distanță egală cu modulul vectorului $\overrightarrow{u}$”. Punctul X are deci coordonatele:

$$X(x,y)=A+\overrightarrow{u}=(2,1)+(1,3)=(3,4)$$

Ce s-ar întâmpla dacă am lua doar jumătate din vectorul $\overrightarrow{u}$ sau dublul lui? Sau de −1 ori? Figura ilustrează din nou:

Vedem că, dacă adunăm punctul A cu un multiplu oarecare al vectorului director $\overrightarrow{u}$, obținem mereu un punct care se află pe dreapta p. Punctul roșu A reprezintă „originea”, iar punctele verzi sunt rezultatele sumelor dintre punctul A și multipli ai vectorului director albastru $\overrightarrow{u}$.

De fapt, oricare punct X de pe dreapta p am alege, el poate fi exprimat mereu ca suma dintre punctul A și t ori vectorul director $\overrightarrow{u}$, unde t este un număr real. Pentru toate punctele X de pe dreapta p putem spune că există t ∈ ℝ astfel încât

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{u}.$$

Cu alte cuvinte – dacă în această egalitate am înlocui pe rând pe t cu toate numerele reale, am obține toate punctele care formează dreapta p; am obține întreaga dreaptă p. Această egalitate se numește ecuația vectorială a dreptei $p(A,\overrightarrow{u})$, iar scrisă pe coordonate dă ecuațiile parametrice ale dreptei.

Egalitatea precedentă o putem înlocui cu un sistem de ecuații. Dacă punctul X are coordonatele (x, y), punctul A are coordonatele (a₁, a₂) și vectorul $\overrightarrow{u}$ are coordonatele (u₁, u₂), putem scrie

$$(x,y)=(a_1,a_2)+t\cdot (u_1,u_2),$$

ceea ce se poate rescrie în sistemul de ecuații amintit (exprimăm separat coordonata x și separat coordonata y):

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2\end{array}$$

Orice dreaptă din plan poate fi exprimată prin acest sistem de ecuații.

Restrângerea parametrului

În capitolul precedent am spus că, dacă în ecuațiile parametrice înlocuim parametrul t cu toate numerele reale, obținem dreapta. Ce s-ar întâmpla dacă n-am lua toate numerele reale, ci, să zicem, doar jumătate dintre ele – doar numerele reale nenegative?

Am obține o semidreaptă. Dacă ne întoarcem la această figură…

…vedem că pentru toți multiplii pozitivi (adică parametrul t pozitiv) ai vectorului director $\overrightarrow{u}$ am obținut puncte X aflate „deasupra” punctului A. Și invers – dacă am adunat un multiplu negativ al lui $\overrightarrow{u}$ (adică parametrul t negativ), am obținut un punct aflat în „partea opusă”, „sub” punctul A. Dacă pentru parametrul t înlocuim toate numerele nenegative, adică t ∈ [0, +∞), am obține această semidreaptă r, evidențiată cu roșu:

Linia întreruptă reprezintă punctele pe care le-am obține dacă am înlocui parametrul t cu toate numerele negative.

Dacă pentru parametrul t am înlocui toate numerele din intervalul unitate [0, 1], am obține un segment cu lungimea egală cu modulul vectorului director. Am obține acest segment roșu:

Exemple

Avem în plan două puncte A(−1, 3) și B(2, 5).

1. Determină ecuațiile parametrice ale dreptei p care trece prin punctele A, B. Mai întâi determinăm vectorul director. Luăm segmentul orientat $\overrightarrow{AB}$, iar vectorul director $\overrightarrow{u}$ va avea coordonatele

   $$\overrightarrow{u}(u_1,u_2)=B-A=(2,5)-(-1,3)=(3,2)$$

   Ecuația vectorială a dreptei are în general forma $X=A+t\cdot \overrightarrow{u}$, deci prin înlocuire obținem

   $$X=(-1,3)+t\cdot (3,2)$$

   ceea ce putem rescrie în sistem astfel:

   $$\begin{array}{rcl}x& =& -1+3t\\ y& =& 3+2t\end{array}$$

   Deoarece descriem o dreaptă, t ∈ ℝ. Figura urmează puțin mai jos.

2. Determină ecuațiile parametrice ale semidreptei r care are originea în A și trece prin punctul B. Folosim aceleași ecuații parametrice, doar restrângem parametrul t. Acum contează doar dacă t ∈ [0,+∞) sau t ∈ (−∞, 0].

   Vectorul director l-am obținut din segmentul orientat $\overrightarrow{AB}$, ceea ce înseamnă că originea este A și extremitatea este B. Este exact cum avem nevoie – și semidreapta noastră trebuie să aibă originea în A. Înseamnă că nu trebuie să schimbăm sensul prin valori negative ale parametrului și luăm parametrul t din intervalul nenegativ t ∈ [0, +∞).

   Figura care descrie rezolvarea acestei probleme și a celei precedente:

   

3. Află mijlocul segmentului AB. Putem proceda în două moduri: adunăm coordonatele punctelor A, B și împărțim coordonatele rezultate la doi. Să facem asta:

   $$M=\frac{(-1,3)+(2,5)}{2}=\frac{(1,8)}{2}=(\frac{1}{2},4)$$

   Același punct îl putem obține însă și prin vectorul director. Pe acesta l-am obținut din segmentul orientat $\overrightarrow{AB}$, ceea ce înseamnă că, dacă adunăm $A+\overrightarrow{u}$, obținem punctul B. Deci, dacă la A adunăm jumătate din vectorul director, obținem mijlocul segmentului $\overrightarrow{AB}$:

   $$M=A+\frac{1}{2}\overrightarrow{u}=(-1,3)+\frac{1}{2}(3,2)=(-1,3)+(\frac{3}{2},1)=(\frac{1}{2},4)$$

   Vedem că a ieșit același punct. Pentru verificare, figura: