Représentation paramétrique de la droite

La représentation paramétrique est une façon fondamentale de décrire une droite, dans le plan comme dans l'espace.

Motivation

Comment décrire une droite dans le plan ? On sait qu'il suffit de deux points distincts pour la définir. Notons-les par exemple A et B. Autrement dit, par deux points distincts passe une seule droite p :

Comment décrire cette droite autrement, à l'aide de vecteurs ? On peut dessiner un vecteur $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ parallèle à la droite p.

Ce vecteur $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ a la même direction que la droite p. C'est plutôt bien, mais la direction seule ne suffit pas. Si l'on caractérisait la droite p uniquement par le vecteur $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, on ne connaîtrait que sa direction, pas sa position. On ne pourrait pas distinguer ces trois droites :

Les nouvelles droites p₁ et p₂ ont la même direction que p et que le vecteur $\overrightarrow{\mathbf{u}}$. Pour définir la droite p de façon univoque, il faut encore connaître au moins un point situé sur p. Si l'on dit que la droite p a la direction donnée par le vecteur $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ et qu'elle passe par le point A, on la définit sans ambiguïté. Les droites p₁ et p₂ ont bien la même direction, mais aucune ne passe par le point A.

Toute droite peut s'écrire $p(A,\overrightarrow{\mathbf{u}})$, où A est un point de la droite et $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ un vecteur parallèle à la droite. Par exemple, on peut écrire la droite p₁ sous la forme $p(G,\overrightarrow{\mathbf{u}})$ et la droite p₂ sous la forme $p(E,\overrightarrow{\mathbf{u}})$ ou $p(F,\overrightarrow{\mathbf{u}})$ : on peut utiliser n'importe quel point de la droite.

Vecteur directeur de la droite

Si l'on a une droite $p(A,\overrightarrow{\mathbf{u}})$, le vecteur $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ s'appelle le vecteur directeur de la droite. Le plus simple pour le trouver est de choisir deux points A et B situés sur la droite p ; le vecteur directeur est alors le bipoint $\overrightarrow{AB}$. Ses coordonnées s'obtiennent par la différence des coordonnées des points : $\overrightarrow{\mathbf{u}}=B-A$. Exemple :

La droite p contient deux points A et B. Le vecteur directeur est égal au bipoint $\overrightarrow{AB}$, donc ses coordonnées se calculent ainsi :

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)=(6;6)-(2;4)=(4;2)$$

Le vecteur $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ a alors la même longueur que le segment orienté $\overrightarrow{AB}$. On peut le dessiner ainsi :

L'extrémité du vecteur $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ a pour coordonnées (4 ; 2), comme on l'a calculé, et l'on voit que ce vecteur est parallèle à la droite. Le vecteur directeur indique seulement la direction de la droite, ou plutôt son « inclinaison ». Il suffit qu'il soit parallèle à la droite. Si l'on prenait le bipoint $\overrightarrow{BA}$ au lieu de $\overrightarrow{AB}$, on obtiendrait le vecteur directeur $\overrightarrow{\mathbf{v}}=A-B$ :

$$\overrightarrow{\mathbf{v}}=\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)=(2;4)-(6;6)=(-4;-2)$$

Dans la figure :

On voit que le vecteur vert $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ est opposé au vecteur bleu $\overrightarrow{\mathbf{u}}$. Or ce sont tous deux des vecteurs directeurs de la droite p, puisqu'ils sont tous deux parallèles à p.

Représentation paramétrique de la droite

Nous avons une droite p, un point A situé sur cette droite et un vecteur directeur $\overrightarrow{\mathbf{u}}$. Quel point obtient-on si l'on ajoute au point A le vecteur $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ ? Regardons la figure :

Si l'on ajoute à un point situé sur la droite le vecteur directeur, on obtient un point X qui est lui aussi situé sur cette droite. En fait, on ne fait que « décaler le point A dans la direction du vecteur, sur une distance égale à la norme du vecteur $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ ». Le point X a donc pour coordonnées :

$$X=(x;y)=A+\overrightarrow{\mathbf{u}}=(2;1)+(1;3)=(3;4)$$

Que se passerait-il si l'on prenait seulement la moitié du vecteur $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, ou son double ? Ou −1 fois ce vecteur ? La figure le montre à nouveau :

On constate que si l'on ajoute au point A n'importe quel multiple du vecteur directeur $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, on obtient toujours un point situé sur la droite p. Le point rouge A représente le « point de départ », et les points verts représentent les résultats des sommes du point A avec les multiples du vecteur bleu $\overrightarrow{\mathbf{u}}$.

En fait, quel que soit le point X choisi sur la droite p, on peut toujours l'exprimer comme la somme du point A et d'un multiple t du vecteur directeur $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, où t est un nombre réel. Pour tous les points X de la droite p, il existe donc t ∈ ℝ tel que

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}}.$$

Autrement dit : si l'on substitue successivement à t tous les nombres réels, on obtient tous les points qui forment la droite p, c'est-à-dire la droite p tout entière. Cette égalité s'appelle la représentation paramétrique de la droite $p(A,\overrightarrow{\mathbf{u}})$.

Cette égalité peut être remplacée par un système d'équations. Si le point X a pour coordonnées (x ; y), le point A a pour coordonnées (a₁ ; a₂) et le vecteur $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ a pour coordonnées $\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)$, alors on peut écrire

$$(x;y)=(a_1;a_2)+t\cdot (u_1;u_2),$$

ce qui se réécrit en le système d'équations annoncé (on sépare la coordonnée x et la coordonnée y) :

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2\end{array}$$

Toute droite du plan peut être exprimée par ce système d'équations.

Restriction du paramètre

Dans le chapitre précédent, nous avons vu que si l'on substitue à t dans la représentation paramétrique tous les nombres réels, on obtient la droite. Que se passerait-il si l'on ne prenait pas tous les nombres réels, mais disons seulement la moitié d'entre eux, à savoir les réels positifs ou nuls ?

On obtiendrait une demi-droite. Revenons à cette figure…

…on voit que pour tous les multiples strictement positifs du vecteur directeur $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ (c'est-à-dire pour un paramètre t strictement positif), on a obtenu des points X situés « au-dessus » du point A. Inversement, en ajoutant un multiple strictement négatif de $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ (c'est-à-dire un paramètre t strictement négatif), on obtient un point situé « du côté opposé », « en dessous » du point A. Si l'on substitue à t tous les nombres positifs ou nuls, c'est-à-dire t ∈ [0 ; +∞[, on obtient la demi-droite r, mise en évidence en rouge :

La ligne en pointillés représente les points que l'on obtiendrait en substituant au contraire à t tous les nombres strictement négatifs.

Si l'on substitue à t tous les nombres de l'intervalle unité [0 ; 1], on obtient un segment dont la longueur est celle du vecteur directeur. C'est le segment rouge :

Exemples

On considère dans le plan deux points A(−1 ; 3) et B(2 ; 5).

1. Détermine une représentation paramétrique de la droite p passant par les points A et B. On commence par déterminer le vecteur directeur $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, dont les coordonnées sont celles du bipoint $\overrightarrow{AB}$ :

   $$\overrightarrow{\mathbf{u}}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)=B-A=(2;5)-(-1;3)=(3;2)$$

   Une représentation paramétrique d'une droite a en général la forme $X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}}$ ; après substitution, on obtient donc

   $$X=(-1;3)+t\cdot (3;2)$$

   que l'on peut réécrire sous forme de système :

   $$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& -1+3t\\ x_2& =& 3+2t\end{array}$$

   Comme on décrit une droite, t ∈ ℝ. La figure suit un peu plus bas.

2. Détermine une représentation paramétrique de la demi-droite r qui a pour origine le point A et passe par le point B. On utilise la même représentation paramétrique, mais on restreint le paramètre t. Il s'agit seulement de savoir si t ∈ [0 ; +∞[ ou t ∈ ]−∞ ; 0].

   Le vecteur directeur a été obtenu à partir du bipoint $\overrightarrow{AB}$, ce qui signifie que le point de départ est A et le point d'arrivée est B. C'est exactement ce qu'il faut : notre demi-droite doit elle aussi avoir pour origine A. Il n'est donc pas nécessaire d'inverser le sens avec des valeurs négatives du paramètre ; on prend t dans l'intervalle des réels positifs ou nuls t ∈ [0 ; +∞[.

   Figure décrivant la solution de cet exercice et du précédent :

   

3. Détermine le milieu I du segment [AB]. On peut procéder de deux façons. D'abord, additionner les coordonnées des points A et B puis diviser les coordonnées obtenues par deux. Faisons-le :

   $$I=\frac{(-1;3)+(2;5)}{2}=\frac{(1;8)}{2}=(\frac{1}{2};4)$$

   Mais on peut aussi obtenir le même point à l'aide du vecteur directeur. Celui-ci a été obtenu à partir du bipoint $\overrightarrow{AB}$, donc l'addition $A+\overrightarrow{\mathbf{u}}$ donne le point B. Si l'on ajoute à A la moitié du vecteur directeur, on obtient le milieu du segment [AB] :

   $$I=A+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathbf{u}}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\end{array}\right)+\frac{1}{2}(3;2)=(-1;3)+(\frac{3}{2};1)=(\frac{1}{2};4)$$

   On constate que l'on obtient le même point. Voici la figure de contrôle :