Suoran parametriesitys

Parametriesitys on suoran perusyhtälö tasossa tai avaruudessa.

Johdanto

Miten voisimme kuvata suoran tasossa? Tiedämme, että suoran määräämiseen riittää kaksi eri pistettä, merkitään niitä vaikkapa A ja B. Toisin sanoen: kahden eri pisteen kautta kulkee täsmälleen yksi suora p:

Miten voisimme kuvata tämän suoran toisin, vektorien avulla? Voimme piirtää kuvaan vektorin $\overline{u}$, joka on yhdensuuntainen suoran p kanssa.

Tällä vektorilla $\overline{u}$ on sama suunta kuin suoralla p. Se on ihan hyvä, mutta pelkkä suunta ei riitä. Jos kuvaisimme suoran p vain vektorilla $\overline{u}$, määräisimme vain suoran suunnan emmekä sen tarkkaa paikkaa. Emme pystyisi erottamaan toisistaan näitä kolmea suoraa:

Uusilla suorilla p₁ ja p₂ on sama suunta kuin suoralla p ja vektorilla $\overline{u}$. Jotta suora p määräytyisi yksiselitteisesti, meidän täytyy tuntea vielä ainakin yksi suoralla p oleva piste. Kun sanomme, että suoran p suunta on vektorin $\overline{u}$ kuvaama ja että se kulkee pisteen A kautta, määrittelemme suoran p yksiselitteisesti. Suorilla p₁ ja p₂ on kyllä sama suunta, mutta kumpikaan ei kulje pisteen A kautta.

Minkä tahansa suoran voimme merkitä $p(A,\overline{u})$, missä A on suoralla oleva piste ja $\overline{u}$ on suoran suuntainen vektori. Esimerkiksi suoran p₁ voisimme kirjoittaa muodossa $p(G,\overline{u})$ ja suoran p₂ muodossa $p(E,\overline{u})$ tai $p(F,\overline{u})$. Voimme käyttää mitä tahansa suoralla olevaa pistettä.

Suoran suuntavektori

Jos meillä on suora $p(A,\overline{u})$, vektoria $\overline{u}$ sanotaan suoran suuntavektoriksi. Helpoin tapa löytää suuntavektori on valita kaksi suoralla p olevaa pistettä A, B, ja suuntavektori on silloin suunnattu jana $\overrightarrow{AB}$. Tämän vektorin koordinaatit saadaan koordinaattien erotuksena $\overline{u}=B-A$. Esimerkki:

Meillä on suora p ja sillä kaksi pistettä A, B. Suuntavektorina on suunnattu jana $\overrightarrow{AB}$, joten tällaisen vektorin $\overline{u}$ koordinaatit saadaan laskemalla

$$\overline{u}=(u_1,u_2)=(6,6)-(2,4)=(4,2)$$

Vektorilla $\overline{u}$ on silloin sama pituus kuin suunnatulla janalla $\overrightarrow{AB}$. Voimme piirtää vektorin $\overline{u}$ kuvaan näin:

Vektorin $\overline{u}$ loppupisteen koordinaatit ovat (4, 2), täsmälleen niin kuin laskimme, ja näemme, että tämä vektori on yhdensuuntainen suoran kanssa. Suuntavektori vain osoittaa suoran suunnan, tai ehkä paremmin: suoran ”kallistuksen”. Suuntavektorin tarvitsee olla vain yhdensuuntainen suoran kanssa. Jos siis valitsisimme suunnatun janan $\overrightarrow{AB}$ sijaan janan $\overrightarrow{BA}$, saisimme suuntavektoriksi $\overline{v}=A-B$:

$$\overline{v}=(v_1,v_2)=(2,4)-(6,6)=(-4,-2)$$

Piirrettynä kuvaan:

Näemme, että vihreä vektori $\overline{v}$ on sinisen vektorin $\overline{u}$ vastavektori. Silti ne ovat molemmat suoran p suuntavektoreita, koska molemmat ovat yhdensuuntaisia suoran p kanssa.

Suoran parametriesitys

Meillä on suora p, sillä oleva piste A ja suuntavektori $\overline{u}$. Minkä pisteen saamme, kun lasketaan yhteen piste A ja vektori $\overline{u}$? Katsotaan kuvaa:

Kun lasketaan yhteen suoralla oleva piste ja suuntavektori, saadaan piste X, joka on myös tällä suoralla. Pohjimmiltaan vain ”siirrämme pistettä A vektorin suuntaan vektorin $\overline{u}$ pituuden verran”. Pisteen X koordinaatit ovat siis:

$$X=(x,y)=A+\overline{u}=(2,1)+(1,3)=(3,4)$$

Mitä tapahtuisi, jos ottaisimme vain puolet vektorista $\overline{u}$ tai sen kaksinkertaisen? Tai −1-kertaisen? Tämänkin havainnollistaa kuva:

Näemme, että kun lasketaan yhteen piste A ja mikä tahansa suuntavektorin $\overline{u}$ monikerta, saadaan aina suoralla p oleva piste. Punainen piste A esittää ”alkua”, ja vihreät pisteet esittävät pisteen A ja sinisen suuntavektorin $\overline{u}$ monikertojen summia.

Itse asiassa minkä tahansa suoralla p olevan pisteen X valitsemmekin, voimme aina esittää sen pisteen A ja suuntavektorin $\overline{u}$ jonkin t-kertaisen summana, missä t on reaaliluku. Kaikille suoralla p oleville pisteille X voimme sanoa, että on olemassa t ∈ ℝ, jolle

$$X=A+t\cdot \overline{u}.$$

Toisin sanoen, jos sijoittaisimme tähän yhtälöön t:n paikalle yksi kerrallaan kaikki reaaliluvut, saisimme kaikki suoran p pisteet, eli koko suoran p. Tätä yhtälöä sanotaan suoran $p(A,\overline{u})$ parametriesitykseksi.

Edellisen yhtälön voi korvata yhtälöryhmällä. Jos pisteen X koordinaatit ovat (x, y), pisteen A koordinaatit ovat (a₁, a₂) ja vektorin $\overline{u}$ koordinaatit ovat (u₁, u₂), voimme kirjoittaa

$$(x,y)=(a_1,a_2)+t\cdot (u_1,u_2),$$

minkä voi edelleen kirjoittaa jo mainituksi yhtälöryhmäksi (ilmaistaan x-koordinaatti ja y-koordinaatti erikseen):

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2\end{array}$$

Jokainen tason suora voidaan esittää tällä yhtälöryhmällä.

Parametrin rajoittaminen

Edellisessä luvussa totesimme, että kun parametrin t paikalle sijoitetaan parametriyhtälössä kaikki reaaliluvut, saadaan suora. Mitä tapahtuisi, jos emme ottaisi kaikkia reaalilukuja vaan vaikkapa vain puolet niistä, eli vain epänegatiiviset reaaliluvut?

Saisimme puolisuoran. Kun palaamme tähän kuvaan…

…näemme, että suuntavektorin $\overline{u}$ kaikilla positiivisilla monikerroilla (eli positiivisella parametrilla t) saimme pisteitä X, jotka olivat pisteen A ”yläpuolella”. Ja toisaalta, kun lisäsimme vektorin $\overline{u}$ negatiivisen monikerran (eli negatiivisella parametrilla t), saimme pisteen, joka on ”vastakkaisella puolella”, pisteen A ”alapuolella”. Jos parametrin t paikalle sijoitetaan kaikki epänegatiiviset luvut, eli t ∈ [0, ∞[, saisimme punaisella korostetun puolisuoran r:

Katkoviiva esittää pisteitä, jotka saisimme, jos parametrin t paikalle sijoitettaisiin kaikki negatiiviset luvut.

Jos parametrin t paikalle sijoitettaisiin kaikki yksikkövälin [0, 1] luvut, saisimme janan, jonka pituus on sama kuin suuntavektorin pituus. Saisimme tämän punaisen janan:

Esimerkkejä

Tasossa on kaksi pistettä A = (−1, 3) ja B = (2, 5).

1. Määritä pisteiden A, B kautta kulkevan suoran p parametriesitys. Määritetään ensin suuntavektori. Otetaan suunnattu jana $\overrightarrow{AB}$, ja suuntavektorin $\overline{u}$ koordinaatit ovat

   $$\overline{u}=(u_1,u_2)=B-A=(2,5)-(-1,3)=(3,2)$$

   Suoran parametriesityksen yleinen muoto on $X=A+t\cdot \overline{u}$, ja sijoittamalla saamme yhtälön

   $$X=(-1,3)+t\cdot (3,2)$$

   minkä voi kirjoittaa yhtälöryhmäksi näin:

   $$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& -1+3t\\ x_2& =& 3+2t\end{array}$$

   Koska kuvaamme suoraa, t ∈ ℝ. Kuva on hieman alempana.

2. Määritä sellaisen puolisuoran r parametriesitys, jonka alkupiste on A ja joka kulkee pisteen B kautta. Käytämme samaa parametriesitystä ja rajoitamme vain parametria t. Nyt kysymys on vain siitä, onko t ∈ [0, ∞[ vai t ∈ ]−∞, 0].

   Saimme suuntavektorin suunnatusta janasta $\overrightarrow{AB}$, eli alkupiste on A ja loppupiste on B. Se on juuri sellainen kuin tarvitsemme: myös puolisuoramme alkupiste on A. Meidän ei siis tarvitse kääntää suuntaa negatiivisilla parametrin arvoilla, vaan otamme parametrin t epänegatiiviselta väliltä t ∈ [0, ∞[.

   Kuva, joka esittää tämän ja edellisen tehtävän ratkaisun.

   

3. Etsi janan AB keskipiste. Voimme edetä kahdella tavalla: laskea yhteen pisteiden A, B koordinaatit ja jakaa tuloksena saadut koordinaatit kahdella. Tehdään niin:

   $$M=\frac{(-1,3)+(2,5)}{2}=\frac{(1,8)}{2}=(\frac{1}{2},4)$$

   Saman pisteen saamme kuitenkin myös suuntavektorin kautta. Saimme sen suunnatusta janasta $\overrightarrow{AB}$, eli kun lasketaan $A+\overline{u}$, saadaan piste B. Kun siis pisteeseen A lisätään puolet suuntavektorista, saadaan janan $\overrightarrow{AB}$ keskipiste:

   $$M=A+\frac{1}{2}\overline{u}=(-1,3)+\frac{1}{2}(3,2)=(-1,3)+(\frac{3}{2},1)=(\frac{1}{2},4)$$

   Näemme, että tuloksena oli sama piste. Tarkistukseksi kuva: