Вероятност

Вероятността на дадено случайно събитие ни показва какъв е шансът то да настъпи. Типичен пример е хвърлянето на обикновен зар. Можем да питаме: „Каква е вероятността да се падне числото пет?“ Вероятността задаваме или като число от интервала [0; 1], или с проценти, т.е. от 0% до 100%.

Свързани определения

За всяко повтаряемо действие, което зависи от случайността, казваме, че е случаен опит. Например хвърлянето на зар или тегленето на тотото е случаен опит. Освен това ни трябва множеството на всички възможни изходи на случайния опит – това са всички възможности, които могат да настъпят при дадения случаен опит. Например при зар могат да се паднат числата от едно до шест, така че множеството на всички възможни изходи, което означаваме с Ω (омега), за зара би изглеждало така: Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6}. При тотото това биха били всички комбинации, които могат да се паднат.

Всяко подмножество A ⊆ Ω наричаме (случайно) събитие. Например събитието „на зара се пада четно число“ бихме записали като A = {2, 4, 6}. Събитието „на зара се пада число, по-голямо от пет“ бихме записали като A = {6} и така нататък. Ако хвърлим зар (= извършим опит) и на зара се падне числото x, то ако x ∈ A, казваме, че събитието е настъпило, а в противен случай казваме, че не е настъпило. Ако останем при събитието „на зара се пада четно число“ и ни се падне x = 2, то x ∈ A, т.е. 2 ∈ {2, 4, 6} и събитието е настъпило.

Има два специални вида събития: достоверно и невъзможно. Достоверно е събитието, което настъпва във всеки опит, т.е. A = Ω. При зара това би било събитието „пада се число, по-малко от 7“. То със сигурност ще се падне. Другата крайност е невъзможното събитие, което би изглеждало като A = ∅, а словом например „на зара се пада саксия“. Е, по време на хвърлянето на зара саксия може да ни падне от масата, но със сигурност не ни се пада саксия на зара, защото там има само числата от 1 до 6.

Вероятност на събитие

Вероятността на събитието ни казва доколко можем да очакваме то да настъпи. Вероятно всички усещаме, че на зара по-често ще ни се падне някакво четно число, отколкото точно числото пет. Вероятността превръща това усещане в точни числа. Първо ще формулираме някои предположения, които ще ни трябват.

Нека за случайния опит е в сила:

• Възможните изходи са краен брой (т.е. Ω е крайно множество).
• Не могат да се паднат два изхода едновременно (т.е. на зара не можем да хвърлим числото 3 и едновременно 6).
• Всеки изход е еднакво възможен (т.е. имаме еднакво голям шанс да хвърлим на зара числото 4, както и числото 6 или 1).

Първите две условия са доста естествени, последното е малко ограничаващо, но засега ще се задоволим с него. Тогава можем да кажем, че вероятността на събитието A, която ще означим с P(A), е равна на

$$P(A)=\frac{|A|}{|\mathrm{\Omega }|}.$$

С други думи: броят на благоприятните изходи, делен на броя на всички изходи. (Вертикалните черти в предишната формула означават броя на елементите на множество.) Вероятността да хвърлим четно число на зара би била равна на:

$$P(\text{четно})=\frac{|\{2,4,6\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0,5.$$

Често задаваме вероятността във вид на проценти – достатъчно е да вземем пресметнатата вероятност, да я умножим по сто и да добавим знака за процент: 0,5 · 100% = 50%. Петдесетпроцентната вероятност всъщност ни казва, че имаме еднакво голям шанс да ни се падне четно число, както и да не ни се падне. Това е логично, тъй като на зара има три четни и три нечетни числа.

Достоверното събитие има вероятност 1, невъзможното – 0. Защо? Казахме, че за достоверно събитие J е в сила J = Ω, а за невъзможно събитие N е в сила N = ∅. Ако заместим тези събития във формулата, получаваме:

$$P(J)=\frac{|\mathrm{\Omega }|}{|\mathrm{\Omega }|}=1;P(N)=\frac{|\mathrm{\varnothing }|}{|\mathrm{\Omega }|}=\frac{0}{|\mathrm{\Omega }|}=0.$$

Решени примери

1. Каква е вероятността на зара да ни се падне числото пет? Това е просто, множеството на всички благоприятни изходи е само A = {5}, множеството на всички изходи все така е Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Заместваме във формулата:

   $$P(A)=\frac{|\{5\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|}=\frac{1}{6}=\mathrm{16,666}\dots \mathrm{\%}$$

2. Каква е вероятността на зара да ни се падне число, което се дели на три? Трябва да разберем кои числа на зара се делят на три. Това са само числата 3 и 6, т.е. множеството на благоприятните изходи е B = {3, 6}. После както обикновено:

   $$P(B)=\frac{|\{3,6\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}=\mathrm{33,333}\dots \mathrm{\%}$$

3. Сега ще опитаме да хвърлим два зара едновременно. Каква е вероятността и на двата зара да се падне шестица? Първо трябва да определим Ω, т.е. множеството на всички изходи. Трябва да преброим всички възможности, които могат да настъпят. Така, когато на първия зар се падне числото 1, на втория може да се падне числото от 1 до 6. С това открихме шест възможности. Когато на първия зар се падне числото 2, на втория пак могат да се паднат числата от 1 до 6; с това открихме още шест възможности. И така нататък за всички числа, които могат да се паднат на първия зар. Всички възможности изглеждат така:

   $$\begin{array}{rcl}& \mathrm{\Omega }=& (1;1),(1;2),(1;3),(1;4),(1;5),(1;6),\\ & & (2;1),(2;2),(2;3),(2;4),(2;5),(2;6),\\ & & \dots \\ & & (6;1),(6;2),(6;3),(6;4),(6;5),(6;6)\end{array}$$

   Имаме общо шест реда и във всеки ред имаме шест възможности. Общо получаваме 6 · 6 = 36 възможности, които могат да се паднат на заровете. Колко от тях ще са едновременно в множеството на благоприятните изходи? Само една възможност, конкретно (6; 6), защото искаме да ни се паднат две шестици. Така получаваме вероятността:

   $$P(C)=\frac{|\{(6;6)\}|}{|\mathrm{\Omega }|}=\frac{1}{36}=\mathrm{2,777}\dots \mathrm{\%}$$

4. Каква е вероятността при хвърляне на два зара да ни се падне едно и също число и на двата? Броят на всички възможни изходи все така е 36, вж. предишния пример. Колко са обаче благоприятните изходи? Само в шест случая и на двата зара се пада едно и също число: D = {(1; 1), (2; 2), …, (6; 6)}. Заместваме във формулата:

   $$P(D)=\frac{|D|}{|\mathrm{\Omega }|}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}=\mathrm{16,666}\dots \mathrm{\%}$$

5. Каква е вероятността при хвърляне на два зара, бял и черен, на бялия да се падне 3, а на черния 5? Големината на Ω все така е 36. Как изглежда множеството на благоприятните изходи E? Съдържа точно само възможността (3; 5), т.е. вероятността е равна на

   $$P(E)=\frac{|E|}{|\mathrm{\Omega }|}=\frac{1}{36}=\mathrm{2,777}\dots \mathrm{\%}$$

6. Каква е вероятността при хвърляне на два зара, бял и черен, да се паднат числата 3 и 5? Този пример е подобен на предишния, само че не изискваме числото 3 да се падне на белия зар, а числото 5 – на черния. Просто на единия от заровете трябва да се падне 3, а на другия – числото 5. Така получаваме повече възможности: освен (3; 5) имаме и възможността (5; 3). Вероятността на това събитие F е равна на:

   $$P(F)=\frac{|F|}{|\mathrm{\Omega }|}=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}=\mathrm{5,555}\dots \mathrm{\%}$$

7. Каква е вероятността при хвърляне на два зара да се падне поне една шестица? Ще действаме постепенно: ако на първия зар се падне шестица, то на втория могат да се паднат числата от 1 до 5. Това са пет възможности. Ако шестица се падне на втория зар, на първия могат да се паднат числата от 1 до 5. Това са още пет възможности. И накрая шестица може да се падне и на двата зара – това е още една възможност. Общо имаме 5 + 5 + 1 = 11 възможности. Множеството на благоприятните изходи G изглежда така: G = {(6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5), (1; 6), (2; 6), (3; 6), (4; 6), (5; 6), (6; 6)}. Получаваме вероятността:

   $$P(G)=\frac{|G|}{|\mathrm{\Omega }|}=\frac{11}{36}=\mathrm{30,555}\dots \mathrm{\%}$$

8. В един клас има 30 ученици. Каква е вероятността ученикът Николай да бъде изпитан по история, ако учителката изпитва всеки път двама ученици и досега още никой не е бил изпитван? За да пресметнем вероятността, трябва да изчислим колко са различните двойки ученици и колко са различните двойки ученици, в които единият от двойката е Николай. Тъй като редът, в който учителката ще изпитва учениците, няма значение, ще използваме комбинации.

   Сега вече ще е лесно. Имаме общо 30 ученици и питаме колко различни двойки можем да съставим от тях. Това ни води до биномния коефициент

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{2})=435$$

   А в колко двойки има и Николай? Ако единият от двамата е Николай, остават общо 29 ученици, с които Николай може да образува двойка (сам със себе си не може да образува двойка, затова 30-1=29). Вече знаем броя на всички възможности и броя на благоприятните възможности, така че заместваме във формулата:

   $$P(H)=\frac{29}{435}=\mathrm{0,066}6\dots =\mathrm{6,666}\dots \mathrm{\%}$$

   Бележка: броят на всички двойки можем да пресметнем и без комбинации. По какъв начин бихме могли да образуваме всички двойки, ако имаме клас от 30 ученици? Като всеки път вземем един ученик и му добавим последователно всички останали. Това означава, че вземаме например Иван и му добавяме в двойка всички останали ученици, т.е. образуваме 29 двойки. Така правим с всеки ученик, т.е. с всичките 30 ученици. Получаваме общо 30 · 29 = 870 двойки. Всяка двойка обаче е там два пъти, веднъж имаме двойката (Иван; Мария) и втори път (Мария; Иван) (според това дали Иван е бил този, към когото се добавя останалата част от класа, или този, който е бил добавен към Мария). Този резултат ще разделим още на две и имаме крайния резултат: 870 / 2 = 435.

9. Каква е вероятността от шкаф за обувки, в който има дванайсет чифта обувки, да извадим точно три обувки за левия крак? Това е съвсем житейски пример, със сигурност вече ти се е налагало да го знаеш. Започваме, като пресметнем колко различни тройки изобщо можем да извадим от шкафа. За целта ни трябват комбинации, защото редът, в който вадим обувките, няма значение. Имаме общо 24 обувки и искаме да извадим 3. Получаваме биномния коефициент:

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{24}{3})=2024$$

   С това пресметнахме, че съществуват общо 2024 различни комбинации от три обувки, които можем да извадим от шкафа. Сега трябва да пресметнем кои комбинации са благоприятни, т.е. кои комбинации от три обувки съдържат само обувки за левия крак. Знаем, че в шкафа има общо 12 обувки за левия крак. Ние само ще пресметнем колко комбинации можем да образуваме от тези 12 обувки. Това отново води до биномния коефициент:

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{3})=220$$

   Има 220 комбинации, които съдържат винаги само обувки за левия крак. Това е всичко, което ни трябва да знаем, сега само заместваме във формулата:

   $$P(I)=\frac{220}{2024}=\mathrm{0,108}695\dots =\mathrm{10,869}5\dots \mathrm{\%}$$

   Така имаме приблизително десетпроцентен шанс да извадим три обувки и всичките да са за левия крак.