Todennäköisyys

Jonkin satunnaisen tapahtuman todennäköisyys kertoo, kuinka suuri mahdollisuus on, että kyseinen tapahtuma sattuu. Tyypillinen esimerkki on tavallisen nopan heitto. Voimme kysyä ”mikä on todennäköisyys, että nopalla tulee viisi?” Todennäköisyys ilmoitetaan joko lukuna väliltä [0, 1] tai prosentteina eli 0 %:sta 100 %:iin.

Liittyvät määritelmät

Jokaista toistettavaa toimintaa, joka riippuu sattumasta, kutsumme satunnaiskokeeksi. Satunnaiskoe on esimerkiksi nopan heitto tai lotto 6/49:n arvonta. Lisäksi tarvitsemme satunnaiskokeen kaikkien mahdollisten tulosten joukon – nämä ovat kaikki vaihtoehdot, jotka kyseisessä kokeessa voivat toteutua. Nopalla voi tulla luvut yhdestä kuuteen, joten kaikkien mahdollisten tulosten joukko, jota merkitsemme ω (omega), olisi nopalle tällainen: ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Lotossa se olisi kaikki yhdistelmät, jotka voivat tulla.

Jokaista osajoukkoa A ⊆ ω kutsumme (satunnaiseksi) tapahtumaksi. Esimerkiksi tapahtuman ”nopalla tulee parillinen luku” kirjoittaisimme A = {2, 4, 6}. Tapahtuman ”nopalla tulee luku, joka on suurempi kuin viisi” kirjoittaisimme A = {6} ja niin edelleen. Jos heitämme noppaa (= teemme kokeen) ja nopalla tulee luku x, niin jos x ∈ A, sanomme, että tapahtuma sattui, muuten sanomme, että tapahtuma ei sattunut. Jos pysymme tapahtumassa ”nopalla tulee parillinen luku” ja saamme x = 2, niin x ∈ A eli 2 ∈ {2, 4, 6} ja tapahtuma sattui.

Tapahtumia on kaksi erikoistyyppiä: varma ja mahdoton tapahtuma. Tapahtuma on varma, jos se sattuu jokaisessa kokeessa, eli A = ω. Nopan kohdalla se olisi tapahtuma ”tulee luku, joka on pienempi kuin 7”. Se tulee varmasti. Vastakohta on mahdoton tapahtuma, joka olisi A = ∅ ja sanoin esimerkiksi ”nopalla tulee kukkaruukku”. Kukkaruukku voi nopan heiton aikana pudota pöydältä, mutta kukkaruukku ei varmasti tule nopalla, koska siinä on vain luvut 1–6.

Tapahtuman todennäköisyys

Tapahtuman todennäköisyys kertoo, kuinka paljon voimme odottaa tapahtuman sattuvan. Me kaikki aavistamme, että nopalla tulee jokin parillinen luku useammin kuin juuri viisi. Todennäköisyys muuttaa tämän aavistuksen täsmällisiksi luvuiksi. Ensin kerromme muutaman oletuksen, joita tarvitsemme.

Olkoon satunnaiskokeelle voimassa:

• Kaikkia mahdollisia tuloksia on äärellisen monta (eli ω on äärellinen joukko).
• Kaksi tulosta ei voi tulla yhtä aikaa (eli nopalla ei voi heittää samalla kertaa lukua 3 ja lukua 6).
• Kaikki tulokset ovat yhtä mahdollisia (eli meillä on yhtä suuri mahdollisuus heittää nopalla luku 4 kuin heittää luku 6 tai 1).

Kaksi ensimmäistä ehtoa ovat melko luonnollisia, viimeinen on hieman rajoittava, mutta pärjäämme sillä toistaiseksi. Silloin voimme sanoa, että tapahtuman A todennäköisyys, jota merkitsemme P(A), on

$$P(A)=\frac{|A|}{|\omega |}.$$

Toisin sanoen: suotuisien tulosten lukumäärä jaettuna kaikkien tulosten lukumäärällä. (Edellisen kaavan pystyviivat tarkoittavat joukon kokoa.) Parillisen luvun heiton todennäköisyys nopalla olisi siis:

$$P(\text{parillinen})=\frac{|\{2,4,6\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0,5.$$

Todennäköisyys ilmoitetaan usein prosentteina – riittää ottaa laskettu todennäköisyys, kertoa se sadalla ja lisätä prosenttimerkki: 0,5 · 100 % = 50 %. Viidenkymmenen prosentin todennäköisyys kertoo itse asiassa sen, että meillä on yhtä suuri mahdollisuus, että parillinen luku tulee, kuin että se ei tule. Mikä on järkevää, kun nopassa on kolme parillista ja kolme paritonta lukua.

Varman tapahtuman todennäköisyys on 1, mahdottoman 0. Miksi? Sanoimme, että varmalle tapahtumalle J pätee J = ω ja mahdottomalle tapahtumalle N pätee N = ∅. Kun sijoitamme nämä tapahtumat kaavaan, saamme:

$$P(J)=\frac{|\omega |}{|\omega |}=1;P(N)=\frac{|\mathrm{\varnothing }|}{|\omega |}=\frac{0}{|\omega |}=0.$$

Ratkaistuja esimerkkejä

1. Mikä on todennäköisyys, että nopalla tulee viisi? Se on helppoa, kaikkien suotuisien tulosten joukko on vain A = {5}, kaikkien tulosten joukko on edelleen ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Sijoitamme kaavaan:

   $$P(A)=\frac{|\{5\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|}=\frac{1}{6}=\mathrm{16,666}\dots \mathrm{\%}$$

2. Mikä on todennäköisyys, että nopalla tulee kolmella jaollinen luku? Meidän on selvitettävä, mitkä nopan luvuista ovat jaollisia kolmella. Ne ovat vain luvut 3 ja 6, eli suotuisien tulosten joukko on B = {3, 6}. Sitten tavalliseen tapaan:

   $$P(B)=\frac{|\{3,6\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}=\mathrm{33,333}\dots \mathrm{\%}$$

3. Kokeillaan nyt heittää kahta noppaa yhtä aikaa. Mikä on todennäköisyys, että molemmilla nopilla tulee kuutonen? Ensin meidän on laskettava ω eli kaikkien tulosten joukko. Meidän on laskettava kaikki mahdollisuudet, jotka voivat toteutua. Kun ensimmäisellä nopalla tulee luku 1, toisella voi tulla luku 1–6. Näin olemme löytäneet kuusi mahdollisuutta. Kun ensimmäisellä nopalla tulee luku 2, toisella nopalla voi taas tulla luvut 1–6; näin olemme löytäneet toiset kuusi mahdollisuutta. Ja niin edelleen kaikille luvuille, jotka voivat tulla ensimmäisellä nopalla. Kaikki mahdollisuudet näyttävät tältä:

   $$\begin{array}{rcl}& \omega =& (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),\\ & & (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),\\ & & \dots \\ & & (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\end{array}$$

   Rivejä on yhteensä kuusi ja jokaisella rivillä on kuusi mahdollisuutta. Saamme yhteensä 6 · 6 = 36 mahdollisuutta, jotka nopilla voivat tulla. Kuinka moni niistä kuuluu samalla suotuisien tulosten joukkoon? Vain yksi mahdollisuus, tarkemmin (6, 6), koska haluamme, että tulee kaksi kuutosta. Saamme siis todennäköisyyden:

   $$P(C)=\frac{|\{(6,6)\}|}{|\omega |}=\frac{1}{36}=\mathrm{2,777}\dots \mathrm{\%}$$

4. Mikä on todennäköisyys, että kahta noppaa heitettäessä molemmilla tulee sama luku? Kaikkien mahdollisten tulosten lukumäärä on edelleen 36, katso edellinen esimerkki. Mutta kuinka monta suotuisaa tulosta on? Vain kuudessa tapauksessa molemmilla nopilla tulee sama luku: D = {(1, 1), (2, 2), …, (6, 6)}. Sijoitamme kaavaan:

   $$P(D)=\frac{|D|}{|\omega |}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}=\mathrm{16,666}\dots \mathrm{\%}$$

5. Mikä on todennäköisyys, että kahta noppaa, valkoista ja mustaa, heitettäessä valkoisella nopalla tulee 3 ja mustalla nopalla 5? Joukon ω koko on edelleen 36. Miltä suotuisien tulosten joukko E näyttää? Siinä on vain mahdollisuus (3, 5), joten todennäköisyys on

   $$P(E)=\frac{|E|}{|\omega |}=\frac{1}{36}=\mathrm{2,777}\dots \mathrm{\%}$$

6. Mikä on todennäköisyys, että kahta noppaa, valkoista ja mustaa, heitettäessä tulee luvut 3 ja 5? Tämä esimerkki on samanlainen kuin edellinen, vain emme vaadi, että luku 3 tulee valkoisella ja luku 5 mustalla nopalla. Toisella nopista on yksinkertaisesti tultava 3 ja toisella luku 5. Näin saamme enemmän mahdollisuuksia: (3, 5):n lisäksi meillä on myös mahdollisuus (5, 3). Tämän tapahtuman F todennäköisyys on siis:

   $$P(F)=\frac{|F|}{|\omega |}=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}=\mathrm{5,555}\dots \mathrm{\%}$$

7. Mikä on todennäköisyys, että kahta noppaa heitettäessä tulee ainakin yksi kuutonen? Edetään vaiheittain: jos ensimmäisellä nopalla tulee kuutonen, toisella nopalla voi tulla luvut 1–5. Se on viisi mahdollisuutta. Jos kuutonen tulee toisella nopalla, ensimmäisellä nopalla voi tulla luvut 1–5. Se on toiset viisi mahdollisuutta. Ja lopuksi kuutonen voi tulla molemmilla nopilla – se on vielä yksi mahdollisuus. Mahdollisuuksia on siis yhteensä 5 + 5 + 1 = 11. Suotuisien tulosten joukko G näyttää siis tältä: G = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6)}. Saamme todennäköisyyden:

   $$P(G)=\frac{|G|}{|\omega |}=\frac{11}{36}=\mathrm{30,555}\dots \mathrm{\%}$$

8. Luokassa on 30 oppilasta. Mikä on todennäköisyys, että oppilas Onni valitaan vastaamaan historian tunnilla, kun opettaja valitsee joka tunnilla kaksi oppilasta eikä ketään ole vielä valittu? Todennäköisyyden laskemiseksi meidän on laskettava, kuinka monta erilaista oppilasparia on olemassa ja kuinka monta erilaista oppilasparia on olemassa, joissa toinen on Onni. Koska sillä, missä järjestyksessä opettaja oppilaat valitsee, ei ole väliä, käytämme kombinaatioita.

   Nyt se on jo helppoa. Meillä on yhteensä 30 oppilasta ja kysymme, kuinka monta erilaista paria heistä voidaan koota. Tämä johtaa binomikertoimeen

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{2})=435$$

   Ja kuinka monessa parissa on mukana myös Onni? Jos toinen kahdesta on Onni, jäljelle jää yhteensä 29 oppilasta, joiden kanssa Onni voi muodostaa parin (itsensä kanssa hän ei voi muodostaa paria, siksi 30-1=29). Nyt tiedämme kaikkien mahdollisuuksien määrän ja suotuisien mahdollisuuksien määrän, joten sijoitamme kaavaan:

   $$P(H)=\frac{29}{435}=\mathrm{0,066}6\dots =\mathrm{6,666}\dots \mathrm{\%}$$

   Huomautus: kaikkien parien lukumäärän voi laskea myös ilman kombinaatioita. Miten voisimme muodostaa kaikki parit, kun luokassa on 30 oppilasta? Otamme aina yhden oppilaan ja muodostamme hänelle parin jokaisen muun oppilaan kanssa. Se tarkoittaa, että otamme esimerkiksi Eliaksen ja liitämme hänelle pariksi kaikki muut oppilaat eli muodostamme 29 paria. Näin teemme jokaiselle oppilaalle eli kaikille 30 oppilaalle. Saamme yhteensä 30 · 29 = 870 paria. Jokainen pari on kuitenkin mukana kahdesti: kerran siinä on pari (Elias, Helmi) ja toisen kerran (Helmi, Elias) (sen mukaan, oliko Elias se, jolle muut luokan oppilaat liitettiin, vai se, joka liitettiin Helmille). Tämän tuloksen vielä jaamme kahdella ja saamme lopputuloksen: 870 / 2 = 435.

9. Mikä on todennäköisyys, että kenkähyllystä, jossa on kaksitoista paria kenkiä, otetaan umpimähkään täsmälleen kolme vasemman jalan kenkää? Tämä on sopiva esimerkki arjesta, olet varmasti joskus tarvinnut tämän tietää. Aloitamme laskemalla, kuinka monta erilaista kolmikkoa kenkähyllystä ylipäätään voi ottaa. Tarvitsemme siihen kombinaatioita, koska sillä, missä järjestyksessä kengät otetaan, ei ole väliä. Kenkiä on yhteensä 24 ja haluamme ottaa 3. Saamme binomikertoimen:

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{24}{3})=2024$$

   Näin olemme laskeneet, että kenkähyllystä voi ottaa yhteensä 2024 eri kolmen kengän yhdistelmää. Nyt meidän on laskettava, mitkä yhdistelmät ovat suotuisia eli mitkä kolmen kengän yhdistelmät sisältävät vain vasemman jalan kenkiä. Tiedämme, että kenkähyllyssä on yhteensä 12 vasemman jalan kenkää. Laskemme siis vain, kuinka monta yhdistelmää näistä 12 kengästä voimme muodostaa. Tämä johtaa taas binomikertoimeen:

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{3})=220$$

   Yhdistelmiä, joissa on aina vain vasemman jalan kenkiä, on siis 220. Siinä kaikki, mitä tarvitsemme tietää, nyt vain sijoitamme kaavaan:

   $$P(I)=\frac{220}{2024}=\mathrm{0,108}695\dots =\mathrm{10,869}5\dots \mathrm{\%}$$

   Meillä on siis noin kymmenen prosentin mahdollisuus, että otamme kolme kenkää ja ne kaikki ovat vasemman jalan kenkiä.