Sandsynlighed

Sandsynligheden for en tilfældig hændelse fortæller os, hvor stor chance vi har for, at hændelsen indtræffer. Et typisk eksempel er et slag med en almindelig terning. Vi kan spørge »hvad er sandsynligheden for, at vi slår en femmer?« Sandsynligheden angiver vi enten som et tal fra intervallet [0; 1] eller ved hjælp af procent, dvs. fra 0 % til 100 %.

Relaterede definitioner

Om enhver gentagelig handling, der afhænger af tilfældighed, siger vi, at der er tale om et tilfældigt eksperiment. Fx er et terningekast eller lottotrækning et tilfældigt eksperiment. Desuden har vi brug for mængden af alle mulige udfald af det tilfældige eksperiment — det er alle de muligheder, der kan indtræffe ved det givne tilfældige eksperiment. På en terning kan fx tallene fra et til seks komme op, så mængden af alle mulige udfald, som vi betegner U (udfaldsrummet), ville for en terning se sådan ud: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Ved lotto ville det være alle de kombinationer, der kan komme op.

Hver delmængde A ⊆ U kalder vi en (tilfældig) hændelse. Fx ville vi skrive hændelsen »på terningen kommer der et lige tal« som A = {2, 4, 6}. Hændelsen »på terningen kommer der et tal større end fem« ville vi skrive som A = {6} og tilsvarende. Hvis vi slår med terningen (= udfører eksperimentet), og der kommer tallet x op på terningen, så siger vi, hvis x ∈ A, at hændelsen er indtruffet, ellers siger vi, at hændelsen ikke er indtruffet. Hvis vi bliver ved hændelsen »på terningen kommer der et lige tal«, og vi slår x = 2, så er x ∈ A, altså 2 ∈ {2, 4, 6}, og hændelsen er indtruffet.

Der findes to særlige slags hændelser: den sikre og den umulige hændelse. En sikker hændelse er en, der indtræffer i hvert eksperiment, hvilket betyder, at A = U. Ved terninger ville det være hændelsen »der kommer et tal mindre end 7«. Det kommer helt sikkert. Det modsatte er den umulige hændelse, den ville se ud som A = ∅ og med ord fx »på terningen kommer der en urtepotte«. Jo, en urtepotte kan under et terningekast falde ned fra bordet, men der kommer helt sikkert ikke en urtepotte op på terningen, for der er kun tallene 1 til 6.

Sandsynligheden for en hændelse

Sandsynligheden for en hændelse fortæller os, hvor meget vi kan forvente, at den givne hændelse indtræffer. Vi har nok alle en fornemmelse af, at der på terningen oftere kommer et eller andet lige tal op end netop tallet fem. Sandsynligheden omsætter denne fornemmelse til eksakte tal. Først opstiller vi nogle forudsætninger, som vi får brug for.

Lad der for et tilfældigt eksperiment gælde:

• Der er endelig mange mulige udfald (dvs. U er en endelig mængde).
• To udfald kan ikke indtræffe samtidig (dvs. vi kan ikke slå tallet 3 og samtidig 6 på terningen).
• Alle udfald er lige sandsynlige (dvs. vi har lige stor chance for at slå tallet 4 på terningen som for at slå tallet 6 eller 1).

De to første betingelser er forholdsvis naturlige, den sidste er lidt begrænsende, men indtil videre klarer vi os med den. Så kan vi sige, at sandsynligheden for hændelsen A, som vi betegner P(A), er lig med

$$P(A)=\frac{|A|}{|U|}.$$

Med andre ord: antal gunstige udfald divideret med antal mulige udfald. (De lodrette streger i den foregående formel betyder mængdens størrelse.) Sandsynligheden for at slå et lige tal på terningen ville således være lig med:

$$P(Lige)=\frac{|\{2,4,6\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0,5.$$

Ofte angiver vi sandsynligheden i form af procent — vi skal bare tage den sandsynlighed, vi har beregnet, gange den med hundrede og tilføje procent: 0,5 · 100 % = 50 %. En sandsynlighed på halvtreds procent fortæller os egentlig, at vi har lige stor chance for, at der kommer et lige tal op, som for, at der ikke gør. Hvilket giver mening, når der på terningen er tre lige og tre ulige tal.

En sikker hændelse har sandsynligheden 1, en umulig hændelse 0. Hvorfor? Vi sagde, at for en sikker hændelse J gælder J = U, og for en umulig hændelse N gælder N = ∅. Hvis vi sætter disse hændelser ind i formlen, får vi:

$$P(J)=\frac{|U|}{|U|}=1;P(N)=\frac{|\mathrm{\varnothing }|}{|U|}=\frac{0}{|U|}=0.$$

Løste eksempler

1. Hvad er sandsynligheden for, at vi slår en femmer på terningen? Det er enkelt, mængden af alle gunstige udfald er blot A = {5}, mængden af alle udfald er stadig U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Vi sætter ind i formlen:

   $$P(A)=\frac{|\{5\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|}=\frac{1}{6}=\mathrm{16,666}\dots \mathrm{\%}$$

2. Hvad er sandsynligheden for, at vi slår et tal på terningen, der er deleligt med tre? Vi skal finde ud af, hvilke tal på terningen der er delelige med tre. Det er kun tallene 3 og 6, altså er mængden af gunstige udfald B = {3, 6}. Så som sædvanligt:

   $$P(B)=\frac{|\{3,6\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}=\mathrm{33,333}\dots \mathrm{\%}$$

3. Nu prøver vi at slå med to terninger på samme tid. Hvad er sandsynligheden for, at der kommer en sekser op på begge terninger? Først skal vi bestemme U, dvs. mængden af alle udfald. Vi skal finde alle de muligheder, der kan indtræffe. Så når vi på den første terning slår tallet 1, kan der på den anden komme tallet 1 til 6 op. Dermed har vi fundet seks muligheder. Når der på den første terning kommer tallet 2, kan der på den anden terning igen komme tallene 1 til 6 op; dermed har vi fundet seks muligheder mere. Og så videre for alle de tal, der kan komme op på den første terning. Alle mulighederne ser så ud som følger:

   $$\begin{array}{rcl}& U=& (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),\\ & & (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),\\ & & \dots \\ & & (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\end{array}$$

   Vi har i alt seks rækker, og i hver række har vi seks muligheder. I alt får vi 6 · 6 = 36 muligheder, som kan komme op på terningerne. Hvor mange af dem er samtidig i mængden af gunstige udfald? Kun én mulighed, konkret (6, 6), for vi vil have to seksere. Vi får således sandsynligheden:

   $$P(C)=\frac{|\{(6,6)\}|}{|U|}=\frac{1}{36}=\mathrm{2,777}\dots \mathrm{\%}$$

4. Hvad er sandsynligheden for, at vi ved et slag med to terninger slår det samme tal på begge? Antallet af alle mulige udfald er stadig 36, se det forrige eksempel. Men hvor mange er gunstige udfald? Kun i seks tilfælde kommer det samme tal op på begge terninger: D = {(1, 1), (2, 2), …, (6, 6)}. Vi sætter ind i formlen:

   $$P(D)=\frac{|D|}{|U|}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}=\mathrm{16,666}\dots \mathrm{\%}$$

5. Hvad er sandsynligheden for, at vi ved et slag med to terninger, en hvid og en sort, slår 3 på den hvide terning og 5 på den sorte terning? Størrelsen af U er stadig 36. Hvordan ser mængden af gunstige udfald E ud? Den indeholder netop kun muligheden (3, 5), altså er sandsynligheden lig med

   $$P(E)=\frac{|E|}{|U|}=\frac{1}{36}=\mathrm{2,777}\dots \mathrm{\%}$$

6. Hvad er sandsynligheden for, at vi ved et slag med to terninger, en hvid og en sort, slår tallene 3 og 5? Dette eksempel ligner det forrige, vi kræver bare ikke, at tallet 3 kommer på den hvide terning og tallet 5 på den sorte. Blot på den ene af terningerne skal der komme 3 og på den resterende tallet 5. Dermed får vi flere muligheder: ud over (3, 5) har vi også muligheden (5, 3). Sandsynligheden for denne hændelse F er således lig med:

   $$P(F)=\frac{|F|}{|U|}=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}=\mathrm{5,555}\dots \mathrm{\%}$$

7. Hvad er sandsynligheden for, at vi ved et slag med to terninger slår mindst én sekser? Vi går frem trin for trin: hvis vi slår en sekser på den første terning, kan der på den anden terning komme tallene 1 til 5. Det er fem muligheder. Hvis der kommer en sekser på den anden terning, kan der på den første terning komme tallene 1 til 5. Det er yderligere fem muligheder. Og til sidst kan der komme en sekser på begge terninger — det er endnu en mulighed. I alt har vi således 5 + 5 + 1 = 11 muligheder. Mængden af gunstige udfald G ser så ud som følger: G = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6)}. Vi får sandsynligheden:

   $$P(G)=\frac{|G|}{|U|}=\frac{11}{36}=\mathrm{30,555}\dots \mathrm{\%}$$

8. I en klasse er der 30 elever. Hvad er sandsynligheden for, at eleven William bliver kaldt op i historie, hvis læreren hver time hører to elever, og ingen endnu har været oppe? For at beregne sandsynligheden skal vi bestemme, hvor mange forskellige par af elever der findes, og hvor mange forskellige par af elever der findes, hvor den ene af de to er William. Fordi det ikke har betydning, i hvilken rækkefølge læreren kalder eleverne op, bruger vi kombinationer.

   Nu bliver det enkelt. Vi har i alt 30 elever, og vi spørger, hvor mange forskellige par vi kan sammensætte af dem. Det fører os til binomialkoefficienten

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{2})=435$$

   Og i hvor mange par er William også med? Hvis den ene af de to er William, er der i alt 29 elever tilbage, som William kan danne par med (sammen med sig selv kan han ikke danne par, derfor 30-1=29). Nu kender vi antallet af alle muligheder og antallet af gunstige muligheder, så vi sætter ind i formlen:

   $$P(H)=\frac{29}{435}=\mathrm{0,066}6\dots =\mathrm{6,666}\dots \mathrm{\%}$$

   Bemærkning: antallet af alle par kan vi også beregne uden kombinationer. På hvilken måde kunne vi danne alle par, hvis vi har en klasse på 30 elever? Ved altid at tage én elev og efter tur føje alle de andre til. Det betyder, at vi fx tager Noah og tilføjer alle de andre elever til ham som par, dvs. vi danner 29 par. Det gør vi med hver elev, dvs. med alle 30 elever. Vi får i alt 30 · 29 = 870 par. Men hvert par har vi der to gange, én gang har vi parret (Noah, Emma) og anden gang (Emma, Noah) (alt efter om det lige var Noah, som resten af klassen blev føjet til, eller den, der lige blev føjet til Emma). Dette resultat dividerer vi så yderligere med to, og så har vi det endelige resultat: 870 / 2 = 435.

9. Hvad er sandsynligheden for, at vi fra et skoskab, hvor der er placeret tolv par sko, trækker præcis tre sko til venstre fod? Det er et praktisk eksempel fra det virkelige liv, det har du sikkert engang haft brug for at vide. Vi begynder med at beregne, hvor mange forskellige tripler vi overhovedet kan trække fra skoskabet. Til det får vi brug for kombinationer, for rækkefølgen, som vi trækker skoene i, har ingen betydning. Vi har i alt 24 sko og vil trække 3. Vi får binomialkoefficienten:

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{24}{3})=2024$$

   Dermed har vi beregnet, at der i alt findes 2024 forskellige kombinationer af tre sko, som vi kan trække fra skoskabet. Nu skal vi beregne, hvilke kombinationer der er gunstige, dvs. hvilke kombinationer af tre sko der kun indeholder sko til venstre fod. Vi ved, at der i skoskabet i alt er 12 sko til venstre fod. Vi beregner så blot, hvor mange kombinationer vi kan danne af disse 12 sko. Det fører igen til binomialkoefficienten:

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{3})=220$$

   Der findes således 220 kombinationer, som altid kun indeholder sko til venstre fod. Det er alt, hvad vi behøver at vide, nu sætter vi blot ind i formlen:

   $$P(I)=\frac{220}{2024}=\mathrm{0,108}695\dots =\mathrm{10,869}5\dots \mathrm{\%}$$

   Vi har således en chance på cirka ti procent for, at vi trækker tre sko, og alle er til venstre fod.