İkinci Dereceden Fonksiyon

İkinci dereceden fonksiyon, f(x) = ax² + bx + c kuralıyla ifade edilebilen fonksiyondur; burada a, b, c gerçek sayılardır ve ayrıca a ≠ 0’dır. Doğrusal fonksiyonun grafiği her zaman bir doğru olduğu gibi, ikinci dereceden fonksiyonun grafiği de her zaman bir paraboldür.

İkinci Dereceden Fonksiyon Örneği

Basit bir ikinci dereceden fonksiyon örneği f(x) = x² + 3x − 7 olabilir. Bu fonksiyonun grafiği şöyle görünür:

İkinci dereceden fonksiyonu şematik olarak ax² + bx + c biçiminde yazabiliriz. ax² terimine ikinci dereceden terim denir ve her ikinci dereceden fonksiyonda bu terim bulunmalıdır. Sıradaki bx terimine birinci dereceden terim denir ve ikinci dereceden fonksiyonda bulunmak zorunda değildir — sıfır olabilir. Örneğin f(x) = 5x² + 7 fonksiyonu da hâlâ ikinci dereceden bir fonksiyondur. Son terim c sabit terim olarak adlandırılır ve o da zorunlu değildir. f(x) = x² + 3x − 7 fonksiyonu için şu geçerli olur:

$$a=1,b=3,c=-7$$

a neden 1’e eşit? Çünkü x² yazılışı aslında 1 · x² demektir, bu yüzden a = 1.

İkinci Dereceden Fonksiyonun Özellikleri

Tanım kümesiyle başlayalım: ikinci dereceden fonksiyonun tanım kümesi ℝ, yani gerçek sayılar kümesidir; görüntü kümesi belirli fonksiyona bağlıdır, ama her zaman (artı ya da eksi) sonsuza gider. İkinci dereceden fonksiyon ayrıca tepe noktasının bir tarafında her zaman artan, diğer tarafında azalandır. Birinci dereceden terim sıfırsa (b = 0), ikinci dereceden fonksiyon çifttir. İkinci dereceden fonksiyon hiçbir zaman bire bir fonksiyon değildir.

Alttan veya Üstten Sınırlılık

İkinci dereceden fonksiyon her zaman ya üstten ya da alttan sınırlıdır. Bu yalnızca a parametresine bağlıdır. a parametresi pozitifse grafik “yukarı doğru büyür”, grafik “U” harfi gibi görünür ve böylece alttan sınırlıdır. Örnek olarak grafiği şöyle olan f(x) = 2x² fonksiyonunu verelim:

Tüm fonksiyon değerlerinin (tüm kırmızı noktaların) −1 sayısının üstünde olduğunu görüyoruz, yani fonksiyon alttan sınırlıdır. f(x) = −2x² fonksiyonumuz olsaydı:

bu kez tüm fonksiyon değerleri 1 sayısının altında olurdu, yani fonksiyon üstten sınırlı olurdu.

Dışbükeylik ve İçbükeylik

Dışbükeylik ve içbükeylik de yine a parametresine bağlıdır. İkinci dereceden fonksiyon, “U” harfi biçimindeyse dışbükey (konveks), ters çevrilmiş “U” harfi biçimindeyse içbükeydir (konkav). Yani a > 0 ise grafiğin çukurluğu yukarı doğrudur ve fonksiyon dışbükeydir; a < 0 ise grafiğin çukurluğu aşağı doğrudur ve fonksiyon içbükeydir.

a parametresi ayrıca grafiğin dar mı geniş mi olacağını da etkiler. Değer sıfıra ne kadar yaklaşırsa grafik o kadar geniş olur, tersi de geçerlidir.

x ve y Eksenleriyle Kesişim Noktaları

Fonksiyonun x ya da y ekseniyle kesişim noktalarını hesaplamak istiyorsak, basit bir denklem kurup çözeriz. Yalnızca fonksiyonu y = ax² + bx + c biçiminde yazabildiğimizi hatırlamamız yeter; bu da x = 2 noktasındaki y koordinatını, her x yerine 2 yazarak bulacağımız anlamına gelir.

Örneğin y = x² − 4x + 3 fonksiyonu için x = 2 noktasında y koordinatı 2² − 4 · 2 + 3 = −1 çıkar. Yani fonksiyonun grafiği kesinlikle (2, −1) noktasından geçer. x ekseniyle kesişim noktalarını hesaplamak istiyorsak, aslında y = 0 olduğu andaki x değeriyle ilgileniriz. x ekseniyle kesişim noktasının y koordinatı her zaman 0’dır; aşağıdaki grafiğe bakınca bu sana açık olacaktır.

Bu yüzden y = x² − 4x + 3 yazılışında y yerine sıfır yazıp denklemi çözeriz. Elde edilen kökler, kesişim noktalarının x koordinatlarıdır.

$$x^2-4x+3=0$$

Bu, standart yöntemlerle çözebileceğimiz bir ikinci dereceden denklemdir. Örneğin sol tarafı (x − 1) · (x − 3) biçiminde çarpanlarına ayırabiliriz; buradan köklerin x₁ = 1 ve x₂ = 3 olduğunu buluruz.

y ekseniyle kesişim noktalarını bulmak istiyorsak aynı şekilde ilerleriz. y = x² − 4x + 3 yazılışını alırız ve bu kez x yerine sıfır yazarız. Aslında fonksiyonun x = 0 noktasındaki fonksiyon değerinin ne olduğunu soruyoruz:

$$0^2-4\cdot 0+3=3$$

Böylece x ekseniyle kesişim noktaları (1, 0) ve (3, 0), y ekseniyle kesişim noktası ise (0, 3) olur.

Tepe Noktasının Koordinatları Nasıl Hesaplanır?

İkinci dereceden fonksiyonda tepe noktasını belirlemek de çok önemlidir. Oldukça karmaşık bir formülü ezberlemek zorunda kalmaman için, tam kareye tamamlama yöntemini kullanan başka bir yol göstereceğiz. İkinci dereceden fonksiyonun tepe noktası, fonksiyonun minimum ya da maksimum değerini aldığı noktadır. Grafiği şöyle görünen f(x) = x² − 4x + 3 fonksiyonunun

tepe noktası (2, −1) noktasıdır.

İkinci dereceden fonksiyonun standart yazılışı şöyledir: f(x) = ax² + bx + c. a = 1 olduğunda bu fonksiyonu g(x) = (x + m)² + n biçimine getireceğiz; burada (−m, n) ikinci dereceden fonksiyonun tepe noktasıdır. Bizim fonksiyonumuz için (x − 2)² − 1 biçimini elde etmek istiyoruz. Bu biçimi nasıl elde ederiz?

Önce yalnızca parantezi yazarız: (x + m) ve m yerine ikinci dereceden fonksiyondaki b parametresinin yarısını yazarız. b parametresi eksi dörde eşit, yarısı eksi iki, dolayısıyla şu yazılışı elde ederiz: (x − 2)².

Şimdi ikinci adımın sırası: fazla gelen terimleri çıkarmamız gerekir. Bu parantezi açsaydın doğru sonuç çıkmazdı, yani asıl fonksiyonu elde edemezdik. Parantezden ayrıca m’nin karesini çıkarmalı ve asıl fonksiyondaki c parametresini eklemeliyiz.

Yani somut olarak parantezden (−2)²’yi çıkarırız ve üçü (c parametresini) ekleriz:

$$(x-2{)}^2-4+3$$

Düzenleyince şunu elde ederiz:

$$(x-2{)}^2-1,$$

bu da nihai sonuçtur. Fonksiyon (x + m)² + n biçiminde olduğu ve m = −2, n = −1 olduğu için, tepe noktasının koordinatlarının (−m, n), yani (2, −1) olduğunu biliriz.

Doğru hesapladığımızı bir de kontrol etmeliyiz. Biz yalnızca x² − 4x + 3 ikinci dereceden fonksiyonunu (x − 2)² − 1 biçimine çevirdik. Ama bu yeni biçim aynı fonksiyonu tanımlamalı; yani parantezi açarsak asıl fonksiyon biçimini elde etmeliyiz. (x − 2)² − 1 ifadesini açmayı deneyelim.

$$\begin{array}{rcl}(x-2{)}^2-1& =& (x-2)\cdot (x-2)-1\\ & =& x^2-4x+4-1\\ & =& x^2-4x+3\end{array}$$

Aynı fonksiyonu elde ettiğimizi görüyoruz, işlemleri doğru yapmışız.