Andengradspolynomium

Et andengradspolynomium er en funktion, som kan udtrykkes ved forskriften f(x) = ax² + bx + c, hvor a, b, c er reelle tal, og desuden a ≠ 0. Ligesom en lineær funktion altid er beskrevet af en linje, er et andengradspolynomium altid beskrevet af en parabel.

Eksempel på et andengradspolynomium

Et eksempel på et simpelt andengradspolynomium kan være f(x) = x² + 3x − 7. Grafen for denne funktion ville se sådan ud:

Et andengradspolynomium kunne vi skematisk skrive som ax² + bx + c. Leddet ax² kaldes andengradsleddet, og det led skal ethvert andengradspolynomium have. Det næste led bx kaldes førstegradsleddet, og det behøver ikke at optræde i andengradspolynomiet — det kan være nul. For eksempel er denne funktion f(x) = 5x² + 7 stadig et andengradspolynomium. Det sidste led c kaldes konstantleddet og er heller ikke obligatorisk. For funktionen f(x) = x² + 3x − 7 ville der således gælde

$$a=1,b=3,c=-7$$

Hvorfor er a lig med ét? Fordi skrivemåden x² faktisk betyder 1 · x², derfor er a = 1.

Egenskaber ved andengradspolynomiet

Vi begynder med definitionsmængden: Definitionsmængden for et andengradspolynomium er ℝ, mængden af reelle tal, værdimængden afhænger af den konkrete funktion, men går altid mod (plus eller minus) uendelig. Et andengradspolynomium er desuden altid strengt voksende på den ene side af toppunktet og strengt aftagende på den anden. Hvis førstegradsleddet er lig med nul (b = 0), er andengradspolynomiet en lige funktion. Et andengradspolynomium er aldrig en injektiv funktion.

Begrænset opad eller nedad

Et andengradspolynomium er altid enten begrænset opad eller nedad. Det afhænger kun af parameteren a. Hvis parameteren a er positiv, så »vokser grafen opad«, grafen ligner bogstavet »U«, og grafen er dermed begrænset nedad. Et eksempel er funktionen f(x) = 2x² med grafen:

Vi ser, at alle funktionsværdier (alle røde punkter) ligger over tallet −1, så funktionen er begrænset nedad. Hvis vi havde funktionen f(x) = −2x²:

så ville alle funktionsværdier igen ligge under tallet 1, og funktionen ville dermed være begrænset opad.

Konveksitet og konkavitet

Konveksitet og konkavitet afhænger igen af parameteren a. Et andengradspolynomium er konvekst, hvis det har form som bogstavet »U«, og konkavt, hvis det har form som et omvendt »U«. Så hvis a > 0, er grafen konveks, og hvis a < 0, er grafen konkav.

Parameteren a påvirker desuden også, om grafen bliver smal eller bred. Jo tættere værdien kommer på nul, desto bredere er grafen, og omvendt.

Skæringspunkter med x-aksen og y-aksen

Hvis vi vil beregne funktionens skæringspunkter med x-aksen eller y-aksen, opstiller vi bare en simpel ligning og løser den derefter. Vi skal bare huske, at vi kan skrive funktionen på formen y = ax² + bx + c, hvilket betyder, at vi finder y-koordinaten i punktet x = 2 ved at indsætte to for alle x.

For eksempel ville der for funktionen y = x² − 4x + 3 gælde, at vi i punktet x = 2 får y-koordinaten 2² − 4 · 2 + 3 = −1. Funktionens graf går altså helt sikkert gennem punktet (2, −1). Hvis vi vil beregne skæringspunkterne med x-aksen, er vi faktisk interesserede i x-værdien, når y = 0. Skæringspunktet med x-aksen har altid y-koordinaten 0, se på den følgende graf, så bliver det klart for dig.

Derfor indsætter vi i y = x² − 4x + 3 bare nul for y og løser ligningen. De resulterende løsninger er x-koordinaterne til skæringspunkterne.

$$x^2-4x+3=0$$

Det er en andengradsligning, som vi kan løse med standardmetoder. Vi kan for eksempel opløse venstresiden i faktorerne (x − 1) · (x − 3), hvoraf vi finder, at løsningerne er x₁ = 1 og x₂ = 3.

Hvis vi vil finde skæringspunkterne med y-aksen, går vi frem på samme måde. Vi tager skrivemåden y = x² − 4x + 3 og indsætter denne gang nul for x. Vi spørger i bund og grund, hvad funktionens funktionsværdi er i punktet x = 0:

$$0^2-4\cdot 0+3=3$$

Skæringspunkterne med x-aksen er således (1, 0) og (3, 0), og med y-aksen (0, 3).

Sådan beregner du toppunktets koordinater

For et andengradspolynomium er det også meget vigtigt at bestemme toppunktet, og for at du ikke skal huske en forholdsvis kompliceret formel, viser vi en anden måde, som bruger kvadratkomplettering. Toppunktet for et andengradspolynomium er det punkt, hvor funktionen har minimum eller maksimum. Funktionen f(x) = x² − 4x + 3, hvis graf ser sådan ud:

har toppunkt i punktet (2, −1).

Standardskrivemåden for et andengradspolynomium ser sådan ud: f(x) = ax² + bx + c. Vi omskriver denne funktion for a = 1 til formen g(x) = (x + m)² + n, hvor (−m, n) er andengradspolynomiets toppunkt. For vores funktion vil vi altså have formen (x − 2)² − 1. Hvordan får vi den form?

Først skriver vi kun parentesen: (x + m) og sætter for m den halve værdi af parameteren b fra andengradspolynomiet. Parameteren b er lig med minus fire, halvdelen er således lig med minus to, så vi får denne skrivemåde: (x − 2)².

Nu er det andet trin: vi skal trække de overskydende led fra. Hvis du gangede denne parentes ud, ville du ikke få det rigtige resultat, vi ville ikke få den oprindelige funktion. Fra parentesen skal vi desuden trække kvadratet på m, og parameteren c fra den oprindelige funktion skal lægges til.

Helt konkret trækker vi altså (−2)² fra parentesen og lægger tre (parameteren c) til:

$$(x-2{)}^2-4+3$$

Efter reduktion får vi

$$(x-2{)}^2-1,$$

som er det endelige resultat. Fordi funktionen er på formen (x + m)² + n, hvor m = −2, n = −1, ved vi, at toppunktet har koordinaterne (−m, n), altså (2, −1).

Vi bør også kontrollere, om vi har regnet rigtigt. Vi har bare omskrevet andengradspolynomiet x² − 4x + 3 til formen (x − 2)² − 1. Den nye form skulle dog beskrive den samme funktion, så hvis vi ganger parentesen ud, skulle vi få den oprindelige form af funktionen. Vi prøver derfor at gange (x − 2)² − 1 ud.

$$\begin{array}{rcl}(x-2{)}^2-1& =& (x-2)\cdot (x-2)-1\\ & =& x^2-4x+4-1\\ & =& x^2-4x+3\end{array}$$

Vi ser, at vi fik den samme funktion, og at omformningerne var rigtige.