Función cuadrática

La función cuadrática es una función que se puede expresar mediante la fórmula f(x) = ax² + bx + c, donde a, b, c son números reales y además a ≠ 0. Del mismo modo que la función lineal siempre está representada por una recta, la función cuadrática siempre está representada por una parábola.

Ejemplo de función cuadrática

Un ejemplo de función cuadrática sencilla puede ser f(x) = x² + 3x − 7. La gráfica de esta función tendría este aspecto:

Podríamos escribir esquemáticamente la función cuadrática como ax² + bx + c. El término ax² se llama término de segundo grado, y toda función cuadrática tiene que tenerlo. El siguiente término, bx, se llama término de primer grado y no tiene por qué aparecer en la función cuadrática: puede ser nulo. Por ejemplo, la función f(x) = 5x² + 7 sigue siendo una función cuadrática. El último término, c, se llama término independiente y tampoco es obligatorio. Así, para la función f(x) = x² + 3x − 7 se cumpliría

$$a=1,b=3,c=-7$$

¿Por qué a es igual a uno? Porque la expresión x² en realidad significa 1 · x², y por eso a = 1.

Propiedades de la función cuadrática

Empezamos por el dominio: el dominio de la función cuadrática es ℝ, el conjunto de los números reales; el recorrido depende de la función concreta, pero siempre se extiende hasta el infinito (positivo o negativo). Además, la función cuadrática es siempre creciente a un lado del vértice y decreciente al otro. Si el término de primer grado es igual a cero (b = 0), la función cuadrática es par. La función cuadrática nunca es una función inyectiva.

Acotación superior o inferior

La función cuadrática está siempre acotada superiormente o inferiormente. Depende solo del parámetro a. En efecto, si el parámetro a es positivo, la gráfica de la función «crece hacia arriba», tiene el aspecto de la letra «U» y, por tanto, está acotada inferiormente. Un ejemplo es la función f(x) = 2x² con la gráfica:

Vemos que todos los valores de la función (todos los puntos rojos) están por encima del número −1, de modo que la función está acotada inferiormente. Si tuviéramos la función f(x) = −2x²:

entonces todos los valores de la función estarían por debajo del número 1, de modo que la función estaría acotada superiormente.

Convexidad y concavidad

La convexidad y la concavidad dependen de nuevo del parámetro a. La función cuadrática es convexa si tiene forma de letra «U» y es cóncava si tiene forma de letra «U» invertida. Así, si a > 0, la gráfica es convexa, y si a < 0, la gráfica es cóncava.

El parámetro a influye además en que la gráfica sea estrecha o ancha. Cuanto más se acerca su valor a cero, más ancha es la gráfica, y viceversa.

Puntos de corte con el eje x y con el eje y

Si queremos calcular los puntos de corte de la función con el eje x o con el eje y, basta con plantear una ecuación sencilla y resolverla. Solo tenemos que darnos cuenta de que la función se puede escribir en la forma y = ax² + bx + c, lo que significa que la coordenada y en el punto x = 2 se obtiene sustituyendo todas las x por dos.

Por ejemplo, para la función y = x² − 4x + 3 se cumpliría que en el punto x = 2 obtenemos la coordenada y igual a 2² − 4 · 2 + 3 = −1. La gráfica de la función pasa, por tanto, sin duda por el punto (2, −1). Si queremos calcular los puntos de corte con el eje x, nos interesa en realidad el valor de x cuando se cumple y = 0. El punto de corte con el eje x tiene siempre la coordenada y igual a 0; mira la siguiente gráfica y lo verás claro.

Por eso, en la expresión y = x² − 4x + 3 basta con sustituir y por cero y resolver la ecuación. Las raíces obtenidas son las coordenadas x de los puntos de corte.

$$x^2-4x+3=0$$

Es una ecuación de segundo grado que podemos resolver con los procedimientos habituales. Podemos, por ejemplo, descomponerla en la forma factorizada (x − 1) · (x − 3), de donde deducimos que las raíces son x₁ = 1 y x₂ = 3.

Si queremos obtener los puntos de corte con el eje y, procederemos igual. Tomamos la expresión y = x² − 4x + 3 y esta vez sustituimos x por cero. En el fondo nos preguntamos cuál es el valor de la función en el punto x = 0:

$$0^2-4\cdot 0+3=3$$

Los puntos de corte con el eje x son, pues, (1, 0) y (3, 0), y con el eje y, (0, 3).

Cómo calcular las coordenadas del vértice

En la función cuadrática también es muy importante determinar su vértice y, para que no tengas que memorizar una fórmula bastante complicada, veamos otra forma, que utiliza el método de completar el cuadrado. El vértice de la función cuadrática es el punto en el que la función tiene un mínimo o un máximo. La función f(x) = x² − 4x + 3, cuya gráfica tiene este aspecto:

tiene el vértice en el punto (2, −1).

La expresión estándar de la función cuadrática tiene este aspecto: f(x) = ax² + bx + c. Para a = 1, vamos a transformar esta función a la forma g(x) = (x + m)² + n, donde (−m, n) es el vértice de la función cuadrática. Para nuestra función queremos, por tanto, obtener la forma (x − 2)² − 1. ¿Cómo obtenemos esta forma?

Primero escribimos solo el paréntesis: (x + m) y en lugar de m ponemos la mitad del parámetro b de la función cuadrática. El parámetro b es igual a menos cuatro, su mitad es igual a menos dos, de modo que obtenemos esta expresión: (x − 2)².

Ahora toca el segundo paso: tenemos que restar los términos sobrantes. Si desarrollaras este paréntesis, no te saldría el resultado correcto, no obtendríamos la función original. Al paréntesis hay que restarle además el cuadrado de m y sumarle el parámetro c de la función original.

Concretamente, al paréntesis le restamos (−2)² y le sumamos tres (el parámetro c):

$$(x-2{)}^2-4+3$$

Tras simplificar obtenemos

$$(x-2{)}^2-1,$$

que es el resultado final. Como la función está en la forma (x + m)² + n, donde m = −2, n = −1, sabemos que el vértice tiene coordenadas (−m, n), es decir, (2, −1).

Todavía deberíamos comprobar si hemos calculado bien. Nosotros solo hemos pasado la función cuadrática x² − 4x + 3 a la forma (x − 2)² − 1. Esta nueva forma debería describir la misma función, así que, si desarrollamos el paréntesis, deberíamos obtener la forma original de la función. Probemos a desarrollar (x − 2)² − 1.

$$\begin{array}{rcl}(x-2{)}^2-1& =& (x-2)\cdot (x-2)-1\\ & =& x^2-4x+4-1\\ & =& x^2-4x+3\end{array}$$

Vemos que hemos obtenido la misma función, así que las operaciones están bien hechas.