Toisen asteen polynomifunktio

Toisen asteen polynomifunktio on funktio, jonka voi esittää lausekkeella f(x) = ax² + bx + c, jossa a, b, c ovat reaalilukuja ja lisäksi a ≠ 0. Kuten lineaarisen funktion kuvaaja on aina suora, toisen asteen polynomifunktion kuvaaja on aina paraabeli.

Esimerkki toisen asteen polynomifunktiosta

Yksinkertainen esimerkki toisen asteen polynomifunktiosta on f(x) = x² + 3x − 7. Tämän funktion kuvaaja näyttää tältä:

Toisen asteen polynomifunktion voi kirjoittaa kaavamaisesti muodossa ax² + bx + c. Termiä ax² sanotaan toisen asteen termiksi, ja sen täytyy löytyä jokaisesta toisen asteen polynomifunktiosta. Seuraavaa termiä bx sanotaan ensimmäisen asteen termiksi, eikä sen tarvitse esiintyä funktiossa — se voi olla nolla. Esimerkiksi funktio f(x) = 5x² + 7 on edelleen toisen asteen polynomifunktio. Viimeistä termiä c sanotaan vakiotermiksi, eikä sekään ole pakollinen. Funktiolle f(x) = x² + 3x − 7 pätisi siis

$$a=1,b=3,c=-7$$

Miksi a on yksi? Koska merkintä x² tarkoittaa oikeastaan 1 · x², joten a = 1.

Toisen asteen polynomifunktion ominaisuudet

Aloitetaan määrittelyjoukosta: toisen asteen polynomifunktion määrittelyjoukko on ℝ, eli reaalilukujen joukko. Arvojoukko riippuu kyseisestä funktiosta, mutta se ulottuu aina äärettömään (plus- tai miinusäärettömään). Lisäksi toisen asteen polynomifunktio on huipun toisella puolella aina aidosti kasvava ja toisella puolella aidosti vähenevä. Jos ensimmäisen asteen termi on nolla (b = 0), toisen asteen polynomifunktio on parillinen. Toisen asteen polynomifunktio ei koskaan ole injektio.

Rajoittuneisuus ylhäältä tai alhaalta

Toisen asteen polynomifunktio on aina joko ylhäältä tai alhaalta rajoitettu. Se riippuu vain parametrista a. Jos nimittäin parametri a on positiivinen, kuvaaja ”aukeaa ylöspäin”, se näyttää U-kirjaimelta ja on siis alhaalta rajoitettu. Esimerkkinä on funktio f(x) = 2x², jonka kuvaaja on tämä:

Nähdään, että kaikki funktion arvot (kaikki punaiset pisteet) ovat luvun −1 yläpuolella, joten funktio on alhaalta rajoitettu. Jos funktio olisi f(x) = −2x²:

olisivat kaikki funktion arvot taas luvun 1 alapuolella, ja funktio olisi siis ylhäältä rajoitettu.

Konveksisuus ja konkaavisuus

Konveksisuus ja konkaavisuus riippuvat myös parametrista a. Toisen asteen polynomifunktio on konveksi, jos sen kuvaaja on U-kirjaimen muotoinen, ja konkaavi, jos kuvaaja on ylösalaisin käännetyn U-kirjaimen muotoinen. Kun siis a > 0, kuvaaja on konveksi, ja kun a < 0, kuvaaja on konkaavi.

Parametri a vaikuttaa myös siihen, onko kuvaaja kapea vai leveä. Mitä lähempänä nollaa arvo on, sitä leveämpi kuvaaja on, ja päinvastoin.

Leikkauspisteet x- ja y-akselin kanssa

Kun halutaan laskea funktion leikkauspisteet x- tai y-akselin kanssa, muodostetaan yksinkertainen yhtälö ja ratkaistaan se. Täytyy vain muistaa, että funktion voi kirjoittaa muodossa y = ax² + bx + c, mikä tarkoittaa, että y-koordinaatti kohdassa x = 2 saadaan sijoittamalla kaikkien x:n paikalle kaksi.

Esimerkiksi funktiolle y = x² − 4x + 3 pätee, että kohdassa x = 2 saadaan y-koordinaatiksi 2² − 4 · 2 + 3 = −1. Funktion kuvaaja kulkee siis varmasti pisteen (2, −1) kautta. Jos halutaan laskea leikkauspisteet x-akselin kanssa, kiinnostaa oikeastaan x-koordinaatti sillä hetkellä, kun y = 0. Leikkauspisteen x-akselin kanssa y-koordinaatti on aina 0, katso seuraavaa kuvaajaa, niin asia selviää.

Siksi merkinnässä y = x² − 4x + 3 sijoitetaan y:n paikalle nolla ja ratkaistaan yhtälö. Saadut juuret ovat leikkauspisteiden x-koordinaatit.

$$x^2-4x+3=0$$

Tämä on toisen asteen yhtälö, jonka voi ratkaista tavallisilla menetelmillä. Sen voi esimerkiksi jakaa tekijöihin tulomuotoon (x − 1) · (x − 3), mistä saadaan juuriksi x₁ = 1 ja x₂ = 3.

Leikkauspisteet y-akselin kanssa saadaan etenemällä samalla tavalla. Otetaan merkintä y = x² − 4x + 3 ja sijoitetaan tällä kertaa x:n paikalle nolla. Kysytään oikeastaan, mikä on funktion arvo kohdassa x = 0:

$$0^2-4\cdot 0+3=3$$

Leikkauspisteet x-akselin kanssa ovat siis (1, 0) ja (3, 0) ja y-akselin kanssa (0, 3).

Huipun koordinaattien laskeminen

Toisen asteen polynomifunktion kohdalla on myös hyvin tärkeää määrittää sen huippu, ja jotta ei tarvitsisi muistaa melko monimutkaista kaavaa, esitellään toinen tapa, jossa käytetään neliöksi täydentämisen menetelmää. Toisen asteen polynomifunktion huippu on piste, jossa funktiolla on minimi tai maksimi. Funktion f(x) = x² − 4x + 3, jonka kuvaaja näyttää tältä:

huippu on pisteessä (2, −1).

Toisen asteen polynomifunktion tavallinen merkintä on f(x) = ax² + bx + c. Muunnetaan tämä funktio tapauksessa a = 1 muotoon g(x) = (x + m)² + n, jossa (−m, n) on toisen asteen polynomifunktion huippu. Tälle funktiolle halutaan siis saada muoto (x − 2)² − 1. Miten tämä muoto saadaan?

Kirjoitetaan ensin pelkät sulut: (x + m), ja m:n paikalle sijoitetaan toisen asteen polynomifunktion parametrin b puolikas. Parametri b on miinus neljä, sen puolikas on siis miinus kaksi, joten saadaan tällainen merkintä: (x − 2)².

Nyt on toisen vaiheen vuoro: täytyy vähentää ylimääräiset termit. Jos nämä sulut kerrottaisiin auki, ei tulos olisi oikea, eikä alkuperäistä funktiota saataisi. Suluista täytyy vielä vähentää m:n neliö ja lisätä alkuperäisen funktion parametri c.

Tarkemmin sanottuna suluista vähennetään (−2)² ja lisätään kolme (parametri c):

$$(x-2{)}^2-4+3$$

Sieventämisen jälkeen saadaan

$$(x-2{)}^2-1,$$

mikä on lopputulos. Koska funktio on muodossa (x + m)² + n, jossa m = −2, n = −1, tiedetään, että huipun koordinaatit ovat (−m, n), eli (2, −1).

Tehdään vielä tarkistus, onko laskettu oikein. Toisen asteen polynomifunktio x² − 4x + 3 vain muunnettiin muotoon (x − 2)² − 1. Tämän uuden muodon pitäisi kuitenkin kuvata samaa funktiota, joten kun sulut kerrotaan auki, pitäisi saada funktion alkuperäinen muoto. Kokeillaan siis kertoa auki lauseke (x − 2)² − 1.

$$\begin{array}{rcl}(x-2{)}^2-1& =& (x-2)\cdot (x-2)-1\\ & =& x^2-4x+4-1\\ & =& x^2-4x+3\end{array}$$

Nähdään, että saatiin sama funktio, joten sievennykset tehtiin oikein.