Kwadratische functie

Een kwadratische functie is een functie die kan worden uitgedrukt met het voorschrift f(x) = ax² + bx + c, waarbij a, b, c reële getallen zijn en bovendien a ≠ 0. Zoals een lineaire functie altijd wordt beschreven door een rechte lijn, wordt een kwadratische functie altijd beschreven door een parabool.

Voorbeeld van een kwadratische functie

Een voorbeeld van een eenvoudige kwadratische functie is f(x) = x² + 3x − 7. De grafiek van deze functie ziet er zo uit:

Een kwadratische functie kunnen we schematisch opschrijven als ax² + bx + c. De term ax² heet de kwadratische term en die term moet elke kwadratische functie hebben. De volgende term bx heet de lineaire term en die hoeft niet in de kwadratische functie voor te komen — hij mag nul zijn. Deze functie f(x) = 5x² + 7 is bijvoorbeeld nog steeds een kwadratische functie. De laatste term c heet de constante term en is ook niet verplicht. Voor de functie f(x) = x² + 3x − 7 zou dus gelden

$$a=1,b=3,c=-7$$

Waarom is a gelijk aan één? Omdat de schrijfwijze x² eigenlijk 1 · x² betekent, daarom is a = 1.

Eigenschappen van de kwadratische functie

We beginnen met het domein: het domein van een kwadratische functie is ℝ, de verzameling van de reële getallen. Het bereik hangt af van de concrete functie, maar loopt altijd naar (plus of min) oneindig. Een kwadratische functie is verder aan de ene kant van de top altijd stijgend en aan de andere kant dalend. Als de lineaire term nul is (b = 0), is de kwadratische functie even. Een kwadratische functie is nooit een injectieve functie.

Naar boven of naar beneden begrensd

Een kwadratische functie is altijd naar boven of naar beneden begrensd. Dat hangt alleen af van de parameter a. Als de parameter a positief is, “groeit” de grafiek naar boven, ziet de grafiek eruit als de letter “U” en is de grafiek dus naar beneden begrensd. Een voorbeeld is de functie f(x) = 2x² met de grafiek:

We zien dat alle functiewaarden (alle rode punten) boven het getal −1 liggen, de functie is dus naar beneden begrensd. Als we de functie f(x) = −2x² hadden:

dan zouden alle functiewaarden weer onder het getal 1 liggen, en dan zou de functie naar boven begrensd zijn.

Convex en concaaf

Convexiteit en concaviteit hangen weer af van de parameter a. Een kwadratische functie is convex als ze de vorm van de letter “U” heeft (een dalparabool) en concaaf als ze de vorm van een omgekeerde letter “U” heeft (een bergparabool). Als a > 0, is de grafiek dus convex en als a < 0, is de grafiek concaaf.

De parameter a bepaalt verder ook of de grafiek smal of breed is. Hoe dichter de waarde bij nul komt, hoe breder de grafiek is, en omgekeerd.

Snijpunten met de x-as en de y-as

Als we de snijpunten van de functie met de x-as of y-as willen berekenen, stellen we gewoon een eenvoudige vergelijking op en lossen die dan op. We moeten ons alleen realiseren dat we de functie kunnen schrijven in de vorm y = ax² + bx + c, wat betekent dat we de y-coördinaat in het punt x = 2 vinden door overal voor x een twee in te vullen.

Voor de functie y = x² − 4x + 3 zou bijvoorbeeld gelden dat we in het punt x = 2 de y-coördinaat 2² − 4 · 2 + 3 = −1 krijgen. De grafiek van de functie gaat dus zeker door het punt (2, −1). Als we de snijpunten met de x-as willen berekenen, dan zijn we eigenlijk geïnteresseerd in de x-waarde op het moment dat geldt y = 0. Een snijpunt met de x-as heeft altijd de y-coördinaat 0, kijk naar de volgende grafiek en het wordt je duidelijk.

Daarom vullen we in de schrijfwijze y = x² − 4x + 3 voor y gewoon nul in en lossen we de vergelijking op. De resulterende oplossingen zijn de x-coördinaten van de snijpunten.

$$x^2-4x+3=0$$

Dat is een kwadratische vergelijking, die we met de standaardmethoden kunnen oplossen. We kunnen haar bijvoorbeeld ontbinden in factoren, (x − 1) · (x − 3), waaruit we vinden dat de oplossingen x₁ = 1 en x₂ = 3 zijn.

Als we de snijpunten met de y-as willen krijgen, gaan we op dezelfde manier te werk. We nemen de schrijfwijze y = x² − 4x + 3 en vullen deze keer nul in voor x. We vragen ons eigenlijk af wat de functiewaarde van de functie in het punt x = 0 is:

$$0^2-4\cdot 0+3=3$$

De snijpunten met de x-as zijn dus (1, 0) en (3, 0) en met de y-as (0, 3).

Hoe je de coördinaten van de top berekent

Bij een kwadratische functie is het ook heel belangrijk om haar top te bepalen, en om te voorkomen dat je een nogal ingewikkelde formule moet onthouden, laten we een andere manier zien die gebruikmaakt van de methode van het kwadraat afsplitsen. De top van een kwadratische functie is het punt waarin de functie een minimum of maximum heeft. De functie f(x) = x² − 4x + 3, waarvan de grafiek er zo uitziet:

heeft de top in het punt (2, −1).

De standaardvorm van een kwadratische functie ziet er zo uit: f(x) = ax² + bx + c. Wij herleiden deze functie voor a = 1 tot de vorm g(x) = (x + m)² + n, waarbij (−m, n) de top van de kwadratische functie is. Voor onze functie willen we dus de vorm (x − 2)² − 1 krijgen. Hoe krijgen we deze vorm?

Eerst schrijven we alleen die haakjes op: (x + m) en voor m vullen we de helft van de parameter b van de kwadratische functie in. De parameter b is gelijk aan min vier, de helft is dus gelijk aan min twee, dus we krijgen deze schrijfwijze: (x − 2)².

Nu is de tweede stap aan de beurt, we moeten de overtollige termen aftrekken. Als je deze haakjes zou uitwerken, zou je niet het goede resultaat krijgen, we zouden niet de oorspronkelijke functie krijgen. Van de haakjes moet nog het kwadraat van m worden afgetrokken en de parameter c van de oorspronkelijke functie worden opgeteld.

Concreet trekken we dus van de haakjes (−2)² af en tellen we drie (de parameter c) erbij op:

$$(x-2{)}^2-4+3$$

Na herleiden krijgen we

$$(x-2{)}^2-1,$$

en dat is het eindresultaat. Omdat de functie de vorm (x + m)² + n heeft, waarbij m = −2, n = −1, weten we dat de top de coördinaten (−m, n) heeft, dus (2, −1).

We moeten nog controleren of we goed hebben gerekend. We hebben de kwadratische functie x² − 4x + 3 alleen herleid tot de vorm (x − 2)² − 1. Deze nieuwe vorm zou echter dezelfde functie moeten beschrijven, dus als we de haakjes uitwerken, zouden we de oorspronkelijke vorm van de functie moeten krijgen. We proberen dus (x − 2)² − 1 uit te werken.

$$\begin{array}{rcl}(x-2{)}^2-1& =& (x-2)\cdot (x-2)-1\\ & =& x^2-4x+4-1\\ & =& x^2-4x+3\end{array}$$

We zien dat we dezelfde functie hebben gekregen, we hebben de herleidingen goed uitgevoerd.