Квадратна функция

Квадратна функция е такава функция, която може да се изрази с правилото f(x) = ax² + bx + c, където a, b, c са реални числа и освен това a ≠ 0. Както линейната функция винаги се описва с права, така квадратната функция винаги се описва с парабола.

Пример за квадратна функция

Пример за проста квадратна функция може да бъде f(x) = x² + 3x − 7. Графиката на тази функция би изглеждала така:

Квадратната функция бихме могли схематично да я запишем като ax² + bx + c. Членът ax² се нарича квадратен член и този член трябва да го има всяка квадратна функция. Другият член bx се нарича линеен член и не е задължително да се среща в квадратната функция – може да е нулев. Например тази функция f(x) = 5x² + 7 все още е квадратна функция. Последният член c се нарича свободен член и също не е задължителен. За функцията f(x) = x² + 3x − 7 би било в сила

$$a=1,b=3,c=-7$$

Защо a е равно на едно? Защото записът x² всъщност означава 1 · x², затова a = 1.

Свойства на квадратната функция

Започваме с дефиниционното множество: Дефиниционното множество на квадратната функция е ℝ, множеството на реалните числа, множеството от стойности зависи от конкретната функция, но винаги стига до (плюс или минус) безкрайност. Квадратната функция е освен това винаги от едната страна на върха растяща, а от другата намаляваща. Ако линейният член е равен на нула (b = 0), квадратната функция е четна. Квадратната функция никога не е инективна функция.

Ограниченост отгоре или отдолу

Квадратната функция е винаги или ограничена отгоре, или отдолу. Това зависи само от параметъра a. Ако параметърът a е положителен, графиката на функцията „расте нагоре“, графиката изглежда като буквата „U“ и така е ограничена отдолу. Пример е функцията f(x) = 2x² с графика:

Виждаме, че всички стойности на функцията (всички червени точки) са над числото −1, така че функцията е ограничена отдолу. Ако имахме функцията f(x) = −2x²:

тогава пак всички стойности на функцията биха били под числото 1, така че функцията би била ограничена отгоре.

Изпъкналост и вдлъбнатост

Изпъкналостта и вдлъбнатостта отново зависят от параметъра a. Квадратната функция е изпъкнала, ако има формата на буквата „U“, и е вдлъбната, ако има формата на обърната буква „U“. Така че ако a > 0, графиката е изпъкнала, а ако a < 0, графиката е вдлъбната.

Параметърът a влияе освен това и на това дали графиката ще е тясна, или широка. Колкото по-близо до нула е стойността на a, толкова по-широка е графиката, и обратно.

Пресечни точки с осите x и y

Ако искаме да пресметнем пресечните точки на функцията с оста x или y, съставяме просто уравнение и после го решаваме. Трябва само да си дадем сметка, че функцията можем да я запишем във вида y = ax² + bx + c, което означава, че ординатата в точката x = 2 намираме, като вместо всички x заместим две.

Напр. за функцията y = x² − 4x + 3 би било в сила, че в точката x = 2 получаваме ордината 2² − 4 · 2 + 3 = −1. Графиката на функцията със сигурност минава през точката (2; −1). Ако искаме да пресметнем пресечните точки с оста x, тогава всъщност ни интересува стойността на x в момента, когато е в сила y = 0. Пресечната точка с оста x има винаги ордината 0, погледни следната графика и ще ти стане ясно.

Затова в записа y = x² − 4x + 3 просто заместваме вместо y нула и решаваме уравнението. Получените корени са абсцисите на пресечните точки.

$$x^2-4x+3=0$$

Това е квадратно уравнение, което можем да решим със стандартните методи. Можем например да го разложим на множители (x − 1) · (x − 3), от което установяваме, че корените са x₁ = 1 и x₂ = 3.

Ако искаме да получим пресечните точки с оста y, ще постъпим по същия начин. Вземаме записа y = x² − 4x + 3 и този път заместваме нула вместо x. По същество се питаме каква е стойността на функцията в точката x = 0:

$$0^2-4\cdot 0+3=3$$

Следователно пресечните точки с оста x са (1; 0) и (3; 0), а с оста y – (0; 3).

Как да пресметнем координатите на върха

При квадратната функция е много важно да определим и нейния връх и за да не се налага да помниш доста сложна формула, ще покажем друг начин, който използва метода на допълването до точен квадрат. Върхът на квадратната функция е точката, в която функцията има минимум или максимум. Функцията f(x) = x² − 4x + 3, чиято графика изглежда така:

има връх в точката (2; −1).

Стандартният запис на квадратната функция изглежда така: f(x) = ax² + bx + c. Ние ще преобразуваме тази функция за a = 1 във вида g(x) = (x + m)² + n, където (−m; n) е върхът на квадратната функция. За нашата функция искаме да получим вида (x − 2)² − 1. Как да получим този вид?

Първо записваме само скобата: (x + m) и вместо m заместваме половината от стойността на параметъра b на квадратната функция. Параметърът b е равен на минус четири, половината е равна на минус две, така че получаваме този запис: (x − 2)².

Сега е ред на втората стъпка, трябва да извадим излишните членове. Ако разкрием тази скоба, няма да получим правилния резултат – няма да получим първоначалната функция. От скобата трябва още да се извади втората степен на m и да се прибави параметърът c на първоначалната функция.

Тоест конкретно от скобата изваждаме (−2)² и прибавяме три (параметърът c):

$$(x-2{)}^2-4+3$$

След преобразуване получаваме

$$(x-2{)}^2-1,$$

което е крайният резултат. Тъй като функцията е във вида (x + m)² + n, където m = −2, n = −1, знаем, че върхът има координати (−m; n), тоест (2; −1).

Трябва още да направим проверка дали сме пресметнали правилно. Ние само преобразувахме квадратната функция x² − 4x + 3 във вида (x − 2)² − 1. Този нов вид обаче трябва да описва същата функция, така че ако разкрием скобата, трябва да получим първоначалния вид на функцията. Опитваме така да разкрием (x − 2)² − 1.

$$\begin{array}{rcl}(x-2{)}^2-1& =& (x-2)\cdot (x-2)-1\\ & =& x^2-4x+4-1\\ & =& x^2-4x+3\end{array}$$

Виждаме, че получихме същата функция, преобразуванията сме ги направили правилно.