Função quadrática

Função quadrática é a função que pode ser expressa pela lei f(x) = ax² + bx + c, em que a, b, c são números reais e, além disso, a ≠ 0. Assim como a função afim é sempre descrita por uma reta, a função quadrática é sempre descrita por uma parábola.

Exemplo de função quadrática

Um exemplo de função quadrática simples pode ser f(x) = x² + 3x − 7. O gráfico dessa função seria assim:

Poderíamos escrever a função quadrática esquematicamente como ax² + bx + c. O termo ax² chama-se termo de 2º grau, e toda função quadrática precisa ter esse termo. O termo seguinte, bx, chama-se termo de 1º grau e não precisa aparecer na função quadrática — pode ser nulo. Por exemplo, a função f(x) = 5x² + 7 continua sendo uma função quadrática. O último termo, c, chama-se termo independente e também não é obrigatório. Para a função f(x) = x² + 3x − 7 valeria, portanto,

$$a=1,b=3,c=-7$$

Por que a é igual a um? Porque a escrita x² significa, na verdade, 1 · x², por isso a = 1.

Propriedades da função quadrática

Começamos pelo domínio: o domínio da função quadrática é ℝ, o conjunto dos números reais; o conjunto imagem depende da função concreta, mas sempre vai até o infinito (positivo ou negativo). Além disso, a função quadrática é sempre crescente de um lado do vértice e decrescente do outro. Se o termo de 1º grau é igual a zero (b = 0), a função quadrática é par. A função quadrática nunca é uma função injetora.

Limitação superior ou inferior

A função quadrática é sempre limitada superiormente ou inferiormente. Isso depende apenas do parâmetro a. Se o parâmetro a é positivo, o gráfico da função “cresce para cima”, o gráfico parece a letra “U” e, assim, é limitado inferiormente. Um exemplo é a função f(x) = 2x² com o gráfico:

Vemos que todos os valores da função (todos os pontos vermelhos) estão acima do número −1, e a função é, portanto, limitada inferiormente. Se tivéssemos a função f(x) = −2x²:

então, de novo, todos os valores da função estariam abaixo do número 1, e a função seria, portanto, limitada superiormente.

Concavidade

A concavidade depende, de novo, do parâmetro a. A parábola tem a concavidade voltada para cima se tem a forma da letra “U” e voltada para baixo se tem a forma da letra “U” invertida. Assim, se a > 0, a concavidade é voltada para cima, e se a < 0, é voltada para baixo.

O parâmetro a influencia ainda se o gráfico será estreito ou largo. Quanto mais o valor se aproxima de zero, mais largo é o gráfico, e vice-versa.

Interseções com os eixos x e y

Se queremos calcular as interseções da função com o eixo x ou y, basta montar uma equação simples e depois resolvê-la. Precisamos apenas lembrar que a função pode ser escrita na forma y = ax² + bx + c, o que significa que descobrimos a coordenada y no ponto x = 2 substituindo todos os x por dois.

Por exemplo, para a função y = x² − 4x + 3 valeria que, no ponto x = 2, obtemos a coordenada y igual a 2² − 4 · 2 + 3 = −1. O gráfico da função passa, portanto, com certeza pelo ponto (2, −1). Se queremos calcular as interseções com o eixo x, então nos interessa, na verdade, o valor de x no momento em que vale y = 0. A interseção com o eixo x tem sempre coordenada y igual a 0; olhe o gráfico a seguir e ficará claro para você.

Por isso, na escrita y = x² − 4x + 3 basta substituir y por zero e resolver a equação. As raízes obtidas são as coordenadas x das interseções.

$$x^2-4x+3=0$$

Essa é uma equação do 2º grau, que podemos resolver pelos procedimentos padrão. Podemos, por exemplo, decompô-la na forma fatorada (x − 1) · (x − 3), de onde descobrimos que as raízes são x₁ = 1 e x₂ = 3.

Se queremos obter as interseções com o eixo y, procedemos do mesmo modo. Pegamos a escrita y = x² − 4x + 3 e, desta vez, substituímos x por zero. Na prática, perguntamos qual é o valor da função no ponto x = 0:

$$0^2-4\cdot 0+3=3$$

As interseções com o eixo x são, portanto, (1, 0) e (3, 0), e com o eixo y, (0, 3).

Como calcular as coordenadas do vértice

Na função quadrática é também muito importante determinar o seu vértice e, para que você não precise memorizar uma fórmula relativamente complicada, vamos mostrar outro método, que usa o método de completar quadrados. O vértice da função quadrática é o ponto no qual a função tem mínimo ou máximo. A função f(x) = x² − 4x + 3, cujo gráfico é assim:

tem vértice no ponto (2, −1).

A escrita padrão da função quadrática é assim: f(x) = ax² + bx + c. Vamos converter essa função, para a = 1, na forma g(x) = (x + m)² + n, em que (−m, n) é o vértice da função quadrática. Para a nossa função queremos, então, obter a forma (x − 2)² − 1. Como obtemos essa forma?

Primeiro escrevemos apenas aquele parêntese: (x + m) e, no lugar de m, colocamos a metade do valor do parâmetro b da função quadrática. O parâmetro b é igual a menos quatro, a metade é, portanto, igual a menos dois, e assim obtemos esta escrita: (x − 2)².

Agora é a vez do segundo passo: precisamos subtrair as parcelas excedentes. Se você desenvolvesse esse parêntese, não obteria o resultado correto, não obteríamos a função original. Do parêntese ainda é preciso subtrair o quadrado de m e somar o parâmetro c da função original.

Ou seja, concretamente, do parêntese subtraímos (−2)² e somamos três (o parâmetro c):

$$(x-2{)}^2-4+3$$

Depois de simplificar, obtemos

$$(x-2{)}^2-1,$$

que é o resultado final. Como a função está na forma (x + m)² + n, em que m = −2, n = −1, sabemos que o vértice tem coordenadas (−m, n), isto é, (2, −1).

Ainda deveríamos fazer uma verificação para ver se calculamos corretamente. Nós apenas convertemos a função quadrática x² − 4x + 3 na forma (x − 2)² − 1. Essa nova forma, porém, deveria descrever a mesma função; então, se desenvolvermos o parêntese, deveríamos obter a forma original da função. Vamos tentar desenvolver (x − 2)² − 1.

$$\begin{array}{rcl}(x-2{)}^2-1& =& (x-2)\cdot (x-2)-1\\ & =& x^2-4x+4-1\\ & =& x^2-4x+3\end{array}$$

Vemos que obtivemos a mesma função; fizemos as transformações corretamente.