Andragradsfunktion

En andragradsfunktion är en funktion som kan skrivas på formen f(x) = ax² + bx + c, där a, b, c är reella tal och dessutom a ≠ 0. Precis som en linjär funktion alltid har en rät linje som graf, har en andragradsfunktion alltid en parabel som graf.

Exempel på en andragradsfunktion

Ett enkelt exempel på en andragradsfunktion är f(x) = x² + 3x − 7. Grafen till funktionen ser ut så här:

Schematiskt kan vi skriva andragradsfunktionen som ax² + bx + c. Termen ax² kallas den kvadratiska termen, och den måste varje andragradsfunktion ha. Nästa term bx kallas den linjära termen och behöver inte finnas med i andragradsfunktionen – den kan vara noll. Funktionen f(x) = 5x² + 7 är till exempel fortfarande en andragradsfunktion. Den sista termen c kallas konstanttermen och är inte heller obligatorisk. För funktionen f(x) = x² + 3x − 7 gäller alltså

$$a=1,b=3,c=-7$$

Varför är a lika med ett? Därför att x² egentligen betyder 1 · x², och därför är a = 1.

Egenskaper hos andragradsfunktionen

Vi börjar med definitionsmängden: Definitionsmängden för en andragradsfunktion är ℝ, mängden av reella tal. Värdemängden beror på den enskilda funktionen, men den sträcker sig alltid mot (plus eller minus) oändligheten. Vidare är en andragradsfunktion alltid strängt växande på ena sidan om extrempunkten och strängt avtagande på den andra. Om den linjära termen är noll (b = 0) är andragradsfunktionen en jämn funktion. En andragradsfunktion är aldrig injektiv.

Begränsning uppåt eller nedåt

En andragradsfunktion är alltid antingen uppåt eller nedåt begränsad. Det beror bara på parametern a. Om a är positivt ”öppnar sig” grafen uppåt, den ser ut som bokstaven ”U” och är därför nedåt begränsad. Ett exempel är funktionen f(x) = 2x² med grafen:

Vi ser att alla funktionsvärden (alla röda punkter) ligger över talet −1, så funktionen är nedåt begränsad. Om vi i stället hade funktionen f(x) = −2x²:

skulle alla funktionsvärden ligga under talet 1, och funktionen vore alltså uppåt begränsad.

Konvexitet och konkavitet

Konvexitet och konkavitet beror återigen på parametern a. En andragradsfunktion är konvex om den har formen av ett ”U” och konkav om den har formen av ett upp-och-nedvänt ”U”. Om a > 0 är alltså grafen konvex, och om a < 0 är grafen konkav.

Parametern a avgör dessutom om grafen blir smal eller bred. Ju närmare noll värdet ligger, desto bredare blir grafen, och tvärtom.

Skärning med x-axeln och y-axeln

Om vi vill beräkna var funktionen skär x-axeln eller y-axeln ställer vi bara upp en enkel ekvation och löser den. Vi måste bara komma ihåg att funktionen kan skrivas som y = ax² + bx + c, vilket betyder att y-koordinaten för x = 2 får vi genom att sätta in två överallt där det står x.

För funktionen y = x² − 4x + 3 gäller till exempel att vi för x = 2 får y-koordinaten 2² − 4 · 2 + 3 = −1. Grafen går alltså säkert genom punkten (2, −1). Om vi vill beräkna skärningspunkterna med x-axeln är vi egentligen intresserade av x-värdet när y = 0. En skärningspunkt med x-axeln har alltid y-koordinaten 0, titta på följande graf så blir det tydligt.

I uttrycket y = x² − 4x + 3 sätter vi därför in noll för y och löser ekvationen. De lösningar vi får är x-koordinaterna för skärningspunkterna.

$$x^2-4x+3=0$$

Det är en andragradsekvation, som vi kan lösa med de vanliga metoderna. Vi kan till exempel faktorisera den till faktorformen (x − 1) · (x − 3), och av den ser vi att lösningarna är x₁ = 1 och x₂ = 3.

Om vi vill få fram skärningspunkterna med y-axeln gör vi på samma sätt. Vi tar uttrycket y = x² − 4x + 3 och sätter den här gången in noll för x. Vi frågar oss egentligen vad funktionsvärdet är för x = 0:

$$0^2-4\cdot 0+3=3$$

Skärningspunkterna med x-axeln är alltså (1, 0) och (3, 0), och med y-axeln (0, 3).

Hur du beräknar extrempunktens koordinater

För en andragradsfunktion är det också mycket viktigt att bestämma dess extrempunkt (ofta kallad parabelns vertex). För att du inte ska behöva lära dig en ganska komplicerad formel visar vi ett annat sätt, som använder kvadratkomplettering. Parabelns extrempunkt är den punkt där funktionen har sitt minimum eller maximum. Funktionen f(x) = x² − 4x + 3, vars graf ser ut så här:

har sin extrempunkt i (2, −1).

Den allmänna formen för en andragradsfunktion är f(x) = ax² + bx + c. För a = 1 skriver vi om funktionen på formen g(x) = (x + m)² + n, där (−m, n) är andragradsfunktionens extrempunkt. För vår funktion vill vi alltså komma fram till formen (x − 2)² − 1. Hur får vi fram den?

Först skriver vi bara parentesen: (x + m), och för m sätter vi in hälften av parametern b i andragradsfunktionen. Parametern b är lika med minus fyra, hälften är alltså minus två, så vi får: (x − 2)².

Nu är det dags för det andra steget: vi måste dra bort det som blivit för mycket. Om du multiplicerade ut parentesen skulle du inte få rätt resultat, vi skulle inte få tillbaka den ursprungliga funktionen. Från parentesen måste vi dessutom subtrahera kvadraten av m och addera parametern c från den ursprungliga funktionen.

Konkret subtraherar vi (−2)² från parentesen och adderar tre (parametern c):

$$(x-2{)}^2-4+3$$

Efter förenkling får vi

$$(x-2{)}^2-1,$$

vilket är det slutliga resultatet. Eftersom funktionen nu har formen (x + m)² + n, där m = −2, n = −1, vet vi att extrempunkten har koordinaterna (−m, n), alltså (2, −1).

Vi bör också kontrollera att vi har räknat rätt. Vi har bara skrivit om andragradsfunktionen x² − 4x + 3 på formen (x − 2)² − 1. Den nya formen ska ändå beskriva samma funktion, så om vi multiplicerar ut parentesen ska vi få tillbaka den ursprungliga formen. Vi prövar alltså att multiplicera ut (x − 2)² − 1.

$$\begin{array}{rcl}(x-2{)}^2-1& =& (x-2)\cdot (x-2)-1\\ & =& x^2-4x+4-1\\ & =& x^2-4x+3\end{array}$$

Vi ser att vi fick samma funktion, så våra omskrivningar var korrekta.