Másodfokú függvény

Másodfokú függvény minden olyan függvény, amelyet az f(x) = ax² + bx + c hozzárendelési szabály ad meg, ahol a, b, c valós számok, és a ≠ 0. Ahogy a lineáris függvény grafikonja mindig egyenes, úgy a másodfokú függvényé mindig parabola.

Példa másodfokú függvényre

Egyszerű másodfokú függvény például az f(x) = x² + 3x − 7. Ennek a függvénynek a grafikonja így néz ki:

A másodfokú függvényt sematikusan így írhatjuk fel: ax² + bx + c. Az ax² tagot másodfokú tagnak hívjuk, és minden másodfokú függvénynek tartalmaznia kell. A következő tag, a bx az elsőfokú tag, ez nem feltétlenül szerepel a másodfokú függvényben – lehet nulla. Például az f(x) = 5x² + 7 függvény is másodfokú. Az utolsó tag, a c a konstans tag, és ez sem kötelező. Az f(x) = x² + 3x − 7 függvényre tehát igaz:

$$a=1,b=3,c=-7$$

Miért egyenlő az a eggyel? Mert az x² valójában azt jelenti, hogy 1 · x², ezért a = 1.

A másodfokú függvény tulajdonságai

Kezdjük az értelmezési tartománnyal: a másodfokú függvény értelmezési tartománya ℝ, a valós számok halmaza, az értékkészlet az adott függvénytől függ, de mindig a (plusz vagy mínusz) végtelenbe tart. A másodfokú függvény továbbá a csúcsnak az egyik oldalán mindig szigorúan monoton növekvő, a másikon szigorúan monoton csökkenő. Ha az elsőfokú tag nulla (b = 0), a másodfokú függvény páros. A másodfokú függvény soha nem kölcsönösen egyértelmű.

Korlátosság felülről vagy alulról

A másodfokú függvény mindig vagy felülről, vagy alulról korlátos. Ez csak az a paramétertől függ. Ha ugyanis az a paraméter pozitív, a grafikon „felfelé nyílik”, úgy néz ki, mint az „U” betű, így alulról korlátos. Példa erre az f(x) = 2x² függvény a grafikonjával:

Látjuk, hogy az összes függvényérték (az összes piros pont) a −1 szám fölött van, a függvény tehát alulról korlátos. Ha az f(x) = −2x² függvényünk lenne:

akkor viszont az összes függvényérték az 1 szám alatt lenne, a függvény tehát felülről korlátos.

Konvexitás és konkavitás

A konvexitás és a konkavitás is az a paramétertől függ. A másodfokú függvény konvex, ha „U” betű alakú, és konkáv, ha fordított „U” betű alakú. Tehát ha a > 0, a grafikon konvex, ha pedig a < 0, a grafikon konkáv.

Az a paraméter azt is befolyásolja, hogy a grafikon keskeny lesz-e vagy széles. Minél közelebb van az értéke a nullához, annál szélesebb a grafikon, és fordítva.

Az x és az y tengellyel alkotott metszéspontok

Ha ki akarjuk számítani a függvény metszéspontjait az x vagy az y tengellyel, csak felírunk egy egyszerű egyenletet, és megoldjuk. Csak arra kell gondolnunk, hogy a függvényt felírhatjuk y = ax² + bx + c alakban, ami azt jelenti, hogy az x = 2 helyen az y koordinátát úgy kapjuk meg, hogy minden x helyére kettőt írunk.

Például az y = x² − 4x + 3 függvényre igaz, hogy az x = 2 helyen az y koordináta 2² − 4 · 2 + 3 = −1. A függvény grafikonja tehát biztosan átmegy a (2; −1) ponton. Ha az x tengellyel alkotott metszéspontokat akarjuk kiszámítani, akkor az x koordináta érdekel minket abban az esetben, amikor y = 0. Az x tengellyel alkotott metszéspont y koordinátája mindig 0, nézd meg a következő grafikont, és világos lesz.

Ezért az y = x² − 4x + 3 egyenletben y helyére csak nullát írunk, és megoldjuk az egyenletet. A kapott gyökök a metszéspontok x koordinátái.

$$x^2-4x+3=0$$

Ez egy másodfokú egyenlet, amelyet a szokásos módszerekkel megoldhatunk. Felírhatjuk például gyöktényezős alakban: (x − 1) · (x − 3), amiből megtudjuk, hogy a gyökök x₁ = 1 és x₂ = 3.

Ha az y tengellyel alkotott metszéspontokat akarjuk megkapni, ugyanígy járunk el. Vesszük az y = x² − 4x + 3 alakot, és most x helyére írunk nullát. Lényegében azt kérdezzük, mennyi a függvény értéke az x = 0 helyen:

$$0^2-4\cdot 0+3=3$$

Az x tengellyel alkotott metszéspontok tehát (1; 0) és (3; 0), az y tengellyel alkotott pedig (0; 3).

Hogyan számítsuk ki a csúcs koordinátáit

A másodfokú függvénynél nagyon fontos a csúcs meghatározása is, és hogy ne kelljen megjegyezned egy meglehetősen bonyolult képletet, megmutatunk egy másik módszert, amely a teljes négyzetté alakítást használja. A másodfokú függvény csúcsa az a pont, ahol a függvénynek minimuma vagy maximuma van. Az f(x) = x² − 4x + 3 függvény, amelynek a grafikonja így néz ki:

a (2; −1) pontban van a csúcsa.

A másodfokú függvény szokásos alakja: f(x) = ax² + bx + c. a = 1 esetén ezt a függvényt átalakítjuk g(x) = (x + m)² + n alakra, ahol (−m; n) a másodfokú függvény csúcsa. A mi függvényünknél tehát az (x − 2)² − 1 alakot szeretnénk megkapni. Hogyan kapjuk meg ezt az alakot?

Először csak a zárójelet írjuk fel: (x + m), és m helyére a másodfokú függvény b paraméterének a felét írjuk. A b paraméter mínusz négy, a fele tehát mínusz kettő, így ezt kapjuk: (x − 2)².

Most jön a második lépés, le kell vonnunk a felesleges tagokat. Ha ezt a zárójelet felbontanád, nem a helyes eredményt kapnád, nem az eredeti függvényt. Ezért még le kell vonnunk az m négyzetét, és hozzá kell adnunk az eredeti függvény c paraméterét.

Konkrétan tehát levonjuk a (−2)² értéket, és hozzáadunk hármat (ez a c paraméter):

$$(x-2{)}^2-4+3$$

Az összevonás után ezt kapjuk:

$$(x-2{)}^2-1,$$

ez a végeredmény. Mivel a függvény (x + m)² + n alakú, ahol m = −2, n = −1, tudjuk, hogy a csúcs koordinátái (−m; n), azaz (2; −1).

Még el kell végeznünk az ellenőrzést, hogy jól számoltunk-e. Mi csak átalakítottuk az x² − 4x + 3 másodfokú függvényt (x − 2)² − 1 alakra. Ennek az új alaknak viszont ugyanazt a függvényt kell leírnia, tehát ha felbontjuk a zárójelet, az eredeti alakot kell kapnunk. Próbáljuk meg felbontani az (x − 2)² − 1 kifejezést.

$$\begin{array}{rcl}(x-2{)}^2-1& =& (x-2)\cdot (x-2)-1\\ & =& x^2-4x+4-1\\ & =& x^2-4x+3\end{array}$$

Látjuk, hogy ugyanazt a függvényt kaptuk, az átalakításokat helyesen végeztük el.