Δευτεροβάθμια συνάρτηση

Δευτεροβάθμια συνάρτηση είναι κάθε συνάρτηση που μπορεί να εκφραστεί με τον τύπο f(x) = α x² + β x + γ, όπου α, β, γ είναι πραγματικοί αριθμοί και επιπλέον α ≠ 0. Όπως η γραμμική συνάρτηση παριστάνεται πάντα με ευθεία, έτσι η δευτεροβάθμια συνάρτηση παριστάνεται πάντα με παραβολή.

Παράδειγμα δευτεροβάθμιας συνάρτησης

Παράδειγμα μιας απλής δευτεροβάθμιας συνάρτησης είναι η f(x) = x² + 3x − 7. Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης έχει την εξής μορφή:

Τη δευτεροβάθμια συνάρτηση μπορούμε να τη γράψουμε σχηματικά ως α x² + β x + γ. Ο όρος α x² ονομάζεται δευτεροβάθμιος όρος και πρέπει να τον έχει κάθε δευτεροβάθμια συνάρτηση. Ο επόμενος όρος β x ονομάζεται πρωτοβάθμιος όρος και δεν είναι απαραίτητο να υπάρχει στη δευτεροβάθμια συνάρτηση – μπορεί να είναι μηδενικός. Για παράδειγμα, η συνάρτηση f(x) = 5x² + 7 είναι κι αυτή δευτεροβάθμια. Ο τελευταίος όρος γ ονομάζεται σταθερός όρος και ούτε αυτός είναι υποχρεωτικός. Για τη συνάρτηση f(x) = x² + 3x − 7 θα ίσχυε επομένως

$$\alpha =1,\beta =3,\gamma =-7$$

Γιατί το α είναι ίσο με ένα; Επειδή ο συμβολισμός x² σημαίνει στην πραγματικότητα 1 · x², άρα α = 1.

Ιδιότητες της δευτεροβάθμιας συνάρτησης

Ξεκινάμε με το πεδίο ορισμού: Το πεδίο ορισμού της δευτεροβάθμιας συνάρτησης είναι το ℝ, το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Το σύνολο τιμών εξαρτάται από τη συγκεκριμένη συνάρτηση, αλλά πάντα φτάνει μέχρι το (συν ή πλην) άπειρο. Η δευτεροβάθμια συνάρτηση είναι επιπλέον πάντα από τη μία πλευρά της κορυφής γνησίως αύξουσα και από την άλλη γνησίως φθίνουσα. Αν ο πρωτοβάθμιος όρος είναι ίσος με μηδέν (β = 0), η δευτεροβάθμια συνάρτηση είναι άρτια. Η δευτεροβάθμια συνάρτηση δεν είναι ποτέ συνάρτηση 1-1.

Φραγμένη άνω ή κάτω

Η δευτεροβάθμια συνάρτηση είναι πάντα φραγμένη είτε άνω είτε κάτω. Εξαρτάται μόνο από την παράμετρο α. Αν η παράμετρος α είναι θετική, η γραφική παράσταση «ανεβαίνει προς τα πάνω», μοιάζει με το γράμμα «U» και επομένως είναι φραγμένη κάτω. Παράδειγμα είναι η συνάρτηση f(x) = 2x² με γραφική παράσταση:

Βλέπουμε ότι όλες οι τιμές της συνάρτησης (όλα τα κόκκινα σημεία) βρίσκονται πάνω από τον αριθμό −1, άρα η συνάρτηση είναι φραγμένη κάτω. Αν είχαμε τη συνάρτηση f(x) = −2x²:

τότε πάλι όλες οι τιμές της συνάρτησης θα ήταν κάτω από τον αριθμό 1, άρα η συνάρτηση θα ήταν φραγμένη άνω.

Κυρτότητα και κοιλότητα

Η κυρτότητα και η κοιλότητα εξαρτώνται και πάλι από την παράμετρο α. Η δευτεροβάθμια συνάρτηση είναι κυρτή, αν έχει σχήμα γράμματος «U», και κοίλη, αν έχει σχήμα ανεστραμμένου «U». Άρα αν α > 0, η γραφική παράσταση είναι κυρτή, και αν α < 0, είναι κοίλη.

Η παράμετρος α επηρεάζει επίσης το αν η γραφική παράσταση θα είναι στενή ή πλατιά. Όσο πιο κοντά στο μηδέν είναι η τιμή, τόσο πιο πλατιά είναι η γραφική παράσταση, και αντίστροφα.

Σημεία τομής με τους άξονες x'x και y'y

Αν θέλουμε να υπολογίσουμε τα σημεία τομής της συνάρτησης με τον άξονα x'x ή y'y, απλώς σχηματίζουμε μια απλή εξίσωση και τη λύνουμε. Πρέπει μόνο να έχουμε υπόψη ότι τη συνάρτηση μπορούμε να τη γράψουμε στη μορφή y = α x² + β x + γ, που σημαίνει ότι τη συντεταγμένη y στο σημείο x = 2 τη βρίσκουμε αντικαθιστώντας όλα τα x με το δύο.

Π.χ. για τη συνάρτηση y = x² − 4x + 3 θα ίσχυε ότι στο σημείο x = 2 παίρνουμε συντεταγμένη y ίση με 2² − 4 · 2 + 3 = −1. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης περνά λοιπόν σίγουρα από το σημείο (2, −1). Αν θέλουμε να υπολογίσουμε τα σημεία τομής με τον άξονα x'x, μας ενδιαφέρει η τιμή του x όταν ισχύει y = 0. Το σημείο τομής με τον άξονα x'x έχει πάντα συντεταγμένη y ίση με 0· κοίτα την επόμενη γραφική παράσταση και θα το καταλάβεις.

Γι' αυτό στην έκφραση y = x² − 4x + 3 αντικαθιστούμε το y με μηδέν και λύνουμε την εξίσωση. Οι ρίζες που θα βρούμε είναι οι συντεταγμένες x των σημείων τομής.

$$x^2-4x+3=0$$

Αυτή είναι μια εξίσωση δευτέρου βαθμού, που μπορούμε να τη λύσουμε με τις συνήθεις μεθόδους. Μπορούμε για παράδειγμα να την αναλύσουμε σε γινόμενο (x − 1) · (x − 3), απ' όπου βρίσκουμε ότι οι ρίζες είναι x₁ = 1 και x₂ = 3.

Αν θέλουμε να βρούμε τα σημεία τομής με τον άξονα y'y, ακολουθούμε την ίδια διαδικασία. Παίρνουμε τον τύπο y = x² − 4x + 3 και αυτή τη φορά αντικαθιστούμε το x με μηδέν. Ουσιαστικά ρωτάμε ποια είναι η τιμή της συνάρτησης στο σημείο x = 0:

$$0^2-4\cdot 0+3=3$$

Τα σημεία τομής με τον άξονα x'x είναι επομένως τα (1, 0) και (3, 0) και με τον άξονα y'y το (0, 3).

Πώς να υπολογίσουμε τις συντεταγμένες της κορυφής

Στη δευτεροβάθμια συνάρτηση είναι επίσης πολύ σημαντικό να προσδιορίσουμε την κορυφή της και, για να μη χρειάζεται να θυμάσαι έναν αρκετά πολύπλοκο τύπο, θα δούμε έναν άλλο τρόπο, που χρησιμοποιεί τη μέθοδο της συμπλήρωσης τετραγώνου. Κορυφή της δευτεροβάθμιας συνάρτησης είναι το σημείο στο οποίο η συνάρτηση έχει ελάχιστο ή μέγιστο. Η συνάρτηση f(x) = x² − 4x + 3, της οποίας η γραφική παράσταση έχει την εξής μορφή:

έχει κορυφή στο σημείο (2, −1).

Ο συνήθης τύπος της δευτεροβάθμιας συνάρτησης είναι: f(x) = α x² + β x + γ. Για α = 1 θα τη μετατρέψουμε στη μορφή g(x) = (x + m)² + n, όπου (−m, n) είναι η κορυφή της δευτεροβάθμιας συνάρτησης. Για τη δική μας συνάρτηση θέλουμε επομένως να πάρουμε τη μορφή (x − 2)² − 1. Πώς θα την πάρουμε;

Πρώτα γράφουμε μόνο την παρένθεση: (x + m) και στη θέση του m βάζουμε το μισό της παραμέτρου β της δευτεροβάθμιας συνάρτησης. Η παράμετρος β είναι ίση με μείον τέσσερα, το μισό είναι επομένως μείον δύο, οπότε παίρνουμε τη γραφή: (x − 2)².

Τώρα έρχεται το δεύτερο βήμα: πρέπει να αφαιρέσουμε τους πλεονάζοντες όρους. Αν κάναμε επιμερισμό στην παρένθεση, δεν θα έβγαινε το σωστό αποτέλεσμα, δεν θα παίρναμε την αρχική συνάρτηση. Από την παρένθεση πρέπει ακόμη να αφαιρέσουμε το τετράγωνο του m και να προσθέσουμε την παράμετρο γ της αρχικής συνάρτησης.

Συγκεκριμένα, από την παρένθεση αφαιρούμε (−2)² και προσθέτουμε τρία (την παράμετρο γ):

$$(x-2{)}^2-4+3$$

Μετά την απλοποίηση παίρνουμε

$$(x-2{)}^2-1,$$

που είναι το τελικό αποτέλεσμα. Επειδή η συνάρτηση έχει τη μορφή (x + m)² + n, όπου m = −2, n = −1, ξέρουμε ότι η κορυφή έχει συντεταγμένες (−m, n), δηλαδή (2, −1).

Πρέπει ακόμη να κάνουμε έναν έλεγχο, για να δούμε αν οι υπολογισμοί μας είναι σωστοί. Εμείς απλώς μετατρέψαμε τη δευτεροβάθμια συνάρτηση x² − 4x + 3 στη μορφή (x − 2)² − 1. Αυτή η νέα μορφή όμως πρέπει να περιγράφει την ίδια συνάρτηση, άρα αν κάνουμε επιμερισμό στην παρένθεση, πρέπει να πάρουμε την αρχική μορφή της συνάρτησης. Ας δοκιμάσουμε λοιπόν να αναπτύξουμε το (x − 2)² − 1.

$$\begin{array}{rcl}(x-2{)}^2-1& =& (x-2)\cdot (x-2)-1\\ & =& x^2-4x+4-1\\ & =& x^2-4x+3\end{array}$$

Βλέπουμε ότι πήραμε την ίδια συνάρτηση, άρα οι πράξεις μας ήταν σωστές.