Funcția de gradul al doilea

Funcția de gradul al doilea este orice funcție care se poate scrie sub forma f(x) = ax² + bx + c, unde a, b, c sunt numere reale și, în plus, a ≠ 0. Așa cum funcția de gradul întâi are mereu ca grafic o dreaptă, funcția de gradul al doilea are mereu ca grafic o parabolă.

Exemplu de funcție de gradul al doilea

Un exemplu simplu de funcție de gradul al doilea este f(x) = x² + 3x − 7. Graficul acestei funcții arată astfel:

Funcția de gradul al doilea se poate scrie schematic ca ax² + bx + c. Termenul ax² se numește termen pătratic, iar orice funcție de gradul al doilea trebuie să îl aibă. Următorul termen, bx, se numește termen liniar și poate lipsi dintr-o funcție de gradul al doilea — poate fi nul. De exemplu, funcția f(x) = 5x² + 7 este tot o funcție de gradul al doilea. Ultimul termen, c, se numește termen liber și nici el nu este obligatoriu. Pentru funcția f(x) = x² + 3x − 7 avem deci

$$a=1,b=3,c=-7$$

De ce este a egal cu unu? Pentru că scrierea x² înseamnă de fapt 1 · x², deci a = 1.

Proprietățile funcției de gradul al doilea

Începem cu domeniul de definiție: domeniul de definiție al funcției de gradul al doilea este D_f = ℝ, mulțimea numerelor reale. Imaginea funcției Im f depinde de funcția concretă, dar merge mereu spre (plus sau minus) infinit. În plus, funcția de gradul al doilea este întotdeauna strict crescătoare pe o parte a vârfului și strict descrescătoare pe cealaltă. Dacă termenul liniar este nul (b = 0), funcția de gradul al doilea este pară. Funcția de gradul al doilea nu este niciodată injectivă.

Mărginirea superioară sau inferioară

Funcția de gradul al doilea este întotdeauna fie mărginită superior, fie mărginită inferior. Depinde doar de parametrul a. Dacă a este pozitiv, graficul funcției „crește în sus”, arată ca litera „U” și este deci mărginit inferior. Un exemplu este funcția f(x) = 2x², cu graficul:

Vedem că toate valorile funcției (toate punctele roșii) sunt mai mari decât −1, deci funcția este mărginită inferior. Dacă am avea funcția f(x) = −2x²:

atunci toate valorile funcției ar fi mai mici decât 1, deci funcția ar fi mărginită superior.

Convexitate și concavitate

Convexitatea și concavitatea depind din nou de parametrul a. Funcția de gradul al doilea este convexă dacă are forma literei „U” și concavă dacă are forma literei „U” întoarse. Așadar, dacă a > 0, graficul este convex, iar dacă a < 0, graficul este concav.

Parametrul a influențează și dacă graficul este îngust sau lat. Cu cât a este mai aproape de zero, cu atât graficul este mai lat, și invers.

Intersecțiile cu axele Ox și Oy

Dacă vrem să calculăm intersecțiile funcției cu axa Ox sau Oy, scriem o ecuație simplă și o rezolvăm. Trebuie doar să ținem minte că funcția se poate scrie sub forma y = ax² + bx + c, ceea ce înseamnă că ordonata y în punctul x = 2 o aflăm înlocuind peste tot x cu doi.

De exemplu, pentru funcția y = x² − 4x + 3, în punctul x = 2 obținem ordonata y egală cu 2² − 4 · 2 + 3 = −1. Graficul funcției trece deci prin punctul (2, −1). Dacă vrem să calculăm intersecțiile cu axa Ox, ne interesează valoarea lui x atunci când y = 0. Intersecția cu axa Ox are întotdeauna ordonata 0; privește graficul următor și vei vedea.

Prin urmare, în scrierea y = x² − 4x + 3 înlocuim y cu zero și rezolvăm ecuația. Soluțiile obținute sunt abscisele x ale intersecțiilor.

$$x^2-4x+3=0$$

Aceasta este o ecuație de gradul al doilea, pe care o putem rezolva prin metodele obișnuite. O putem de exemplu descompune în produsul (x − 1) · (x − 3), de unde aflăm că soluțiile sunt x₁ = 1 și x₂ = 3.

Dacă vrem să aflăm intersecțiile cu axa Oy, procedăm la fel. Luăm scrierea y = x² − 4x + 3 și de data aceasta înlocuim x cu zero. De fapt ne întrebăm care este valoarea funcției în punctul x = 0:

$$0^2-4\cdot 0+3=3$$

Intersecțiile cu axa Ox sunt deci (1, 0) și (3, 0), iar cu axa Oy este (0, 3).

Cum calculăm coordonatele vârfului

La funcția de gradul al doilea este foarte important să determinăm și vârful ei. Ca să nu fie nevoie să ții minte o formulă destul de complicată, îți arătăm o altă metodă, care folosește formarea pătratului perfect. Vârful funcției de gradul al doilea este punctul în care funcția are minim sau maxim. Funcția f(x) = x² − 4x + 3, al cărei grafic arată astfel:

are vârful în punctul (2, −1).

Forma obișnuită a funcției de gradul al doilea este f(x) = ax² + bx + c. Pentru a = 1, o vom aduce la forma g(x) = (x + m)² + n, unde (−m, n) este vârful funcției. Pentru funcția noastră vrem deci să obținem forma (x − 2)² − 1. Cum ajungem la această formă?

Mai întâi scriem doar paranteza: (x + m) și în locul lui m punem jumătate din parametrul b al funcției. Parametrul b este egal cu minus patru, jumătatea lui este minus doi, deci obținem scrierea (x − 2)².

Urmează al doilea pas: trebuie să scădem termenii în plus. Dacă am desface această paranteză, nu am obține rezultatul corect, adică nu am ajunge la funcția inițială. Din paranteză trebuie să scădem încă pătratul lui m și să adunăm parametrul c din funcția inițială.

Concret, scădem (−2)² și adunăm trei (parametrul c):

$$(x-2{)}^2-4+3$$

După reducere obținem

$$(x-2{)}^2-1,$$

adică rezultatul final. Deoarece funcția este de forma (x + m)² + n, unde m = −2, n = −1, știm că vârful are coordonatele (−m, n), adică (2, −1).

Mai trebuie să verificăm dacă am calculat corect. Noi am adus funcția x² − 4x + 3 la forma (x − 2)² − 1. Această formă nouă ar trebui să descrie aceeași funcție, deci dacă desfacem paranteza, ar trebui să obținem forma inițială a funcției. Încercăm așadar să desfacem (x − 2)² − 1.

$$\begin{array}{rcl}(x-2{)}^2-1& =& (x-2)\cdot (x-2)-1\\ & =& x^2-4x+4-1\\ & =& x^2-4x+3\end{array}$$

Vedem că am obținut aceeași funcție, deci calculele sunt corecte.