Fonction quadratique

Une fonction quadratique (ou fonction polynôme du second degré) est une fonction que l’on peut écrire sous la forme f(x) = ax² + bx + c, où a, b, c sont des nombres réels et a ≠ 0. De même que la fonction affine est toujours décrite par une droite, la fonction quadratique est toujours décrite par une parabole.

Exemple de fonction quadratique

Un exemple simple de fonction quadratique est f(x) = x² + 3x − 7. Sa courbe représentative ressemble à ceci :

On peut écrire schématiquement une fonction quadratique sous la forme ax² + bx + c. Le terme ax² s’appelle le terme du second degré, et toute fonction quadratique doit en avoir un. Le terme suivant bx s’appelle le terme du premier degré ; il n’est pas obligatoire et peut être nul. Par exemple la fonction f(x) = 5x² + 7 est tout de même une fonction quadratique. Le dernier terme c s’appelle le terme constant, lui aussi n’est pas obligatoire. Pour la fonction f(x) = x² + 3x − 7, on a donc

$$a=1,b=3,c=-7$$

Pourquoi a vaut-il un ? Parce que l’écriture x² signifie en fait 1 · x², donc a = 1.

Propriétés de la fonction quadratique

Commençons par l’ensemble de définition : celui de la fonction quadratique est ℝ, l’ensemble des nombres réels. L’ensemble image dépend de la fonction donnée, mais il s’étend toujours jusqu’à plus ou moins l’infini. La fonction quadratique est par ailleurs toujours, d’un côté du sommet, strictement croissante, et de l’autre côté strictement décroissante. Si le terme du premier degré est nul (b = 0), la fonction quadratique est paire. Une fonction quadratique n’est jamais injective.

Fonction majorée ou minorée

Une fonction quadratique est toujours soit majorée, soit minorée. Cela dépend uniquement du paramètre a. Si le paramètre a est strictement positif, la courbe « monte vers le haut » : elle a la forme d’un U et la fonction est minorée. Un exemple est la fonction f(x) = 2x², dont la courbe est :

On voit que toutes les valeurs de la fonction (tous les points rouges) sont supérieures à −1 : la fonction est donc minorée.

Prenons maintenant la fonction f(x) = −2x² :

Toutes ses valeurs seraient alors inférieures à 1 : la fonction serait majorée.

Convexité et concavité

La convexité et la concavité dépendent à nouveau du paramètre a. La fonction quadratique est convexe si sa courbe a la forme d’un U, et concave si elle a la forme d’un U renversé. Ainsi, si a > 0, la courbe est convexe, et si a < 0, elle est concave.

Le paramètre a influence aussi la largeur de la courbe. Plus la valeur est proche de zéro, plus la courbe est large, et inversement.

Points d’intersection avec les axes

Pour calculer les points d’intersection d’une fonction avec l’axe des abscisses ou l’axe des ordonnées, il suffit d’écrire une équation simple et de la résoudre. Il faut simplement se rappeler qu’on peut écrire la fonction sous la forme y = ax² + bx + c : l’ordonnée y au point d’abscisse x = 2 s’obtient donc en remplaçant partout x par deux.

Par exemple pour la fonction y = x² − 4x + 3, au point d’abscisse x = 2 on obtient l’ordonnée 2² − 4 · 2 + 3 = −1. La courbe passe donc par le point (2 ; −1). Pour calculer les points d’intersection avec l’axe des abscisses, on s’intéresse à la valeur de x quand y = 0. Un point d’intersection avec l’axe des abscisses a toujours une ordonnée égale à 0 ; regarde la courbe suivante, et tout sera clair.

On remplace donc simplement y par zéro dans y = x² − 4x + 3 et l’on résout l’équation. Les racines obtenues sont les abscisses des points d’intersection :

$$x^2-4x+3=0$$

Il s’agit d’une équation du second degré, que l’on peut résoudre par les méthodes habituelles. Par exemple on peut la factoriser sous la forme (x − 1) · (x − 3), ce qui donne les racines x₁ = 1 et x₂ = 3.

Pour les points d’intersection avec l’axe des ordonnées, on procède de la même façon. On part de y = x² − 4x + 3, mais cette fois on remplace x par zéro. On cherche en fait la valeur de la fonction au point d’abscisse x = 0 :

$$0^2-4\cdot 0+3=3$$

Les points d’intersection avec l’axe des abscisses sont donc (1 ; 0) et (3 ; 0), et celui avec l’axe des ordonnées est (0 ; 3).

Comment calculer les coordonnées du sommet

Pour une fonction quadratique, il est très important de déterminer le sommet. Plutôt que de retenir une formule assez compliquée, nous allons utiliser une autre méthode, celle de la complétion du carré. Le sommet d’une fonction quadratique est le point où la fonction atteint son minimum ou son maximum. Prenons la fonction f(x) = x² − 4x + 3, dont la courbe est :

Son sommet est le point (2 ; −1).

La forme développée d’une fonction quadratique est f(x) = ax² + bx + c. Pour a = 1, nous allons mettre cette fonction sous la forme canonique g(x) = (x + m)² + n, où (−m ; n) est le sommet de la fonction quadratique. Pour notre fonction, on veut donc obtenir la forme (x − 2)² − 1. Comment l’obtient-on ?

Commençons par écrire seulement la parenthèse (x + m), et remplaçons m par la moitié du paramètre b de la fonction quadratique. Le paramètre b vaut moins quatre, sa moitié vaut donc moins deux, ce qui donne (x − 2)².

La deuxième étape consiste à retrancher ce qui est en trop. Si l’on développait cette parenthèse, on n’obtiendrait pas le bon résultat, on ne retrouverait pas la fonction de départ. Il faut donc retrancher le carré de m et ajouter le paramètre c de la fonction initiale.

Concrètement, on retranche de la parenthèse (−2)² et on ajoute trois (le paramètre c) :

$$(x-2{)}^2-4+3$$

Après simplification on obtient

$$(x-2{)}^2-1,$$

ce qui est le résultat final. Comme la fonction a la forme (x + m)² + n où m = −2, n = −1, le sommet a pour coordonnées (−m ; n), soit (2 ; −1).

Il faut encore vérifier nos calculs. Nous avons seulement transformé la fonction quadratique x² − 4x + 3 en la forme (x − 2)² − 1. Cette nouvelle forme doit décrire la même fonction : si l’on développe la parenthèse, on doit donc retrouver la forme initiale. Essayons de développer (x − 2)² − 1.

$$\begin{array}{rcl}(x-2{)}^2-1& =& (x-2)\cdot (x-2)-1\\ & =& x^2-4x+4-1\\ & =& x^2-4x+3\end{array}$$

On obtient bien la même fonction, les transformations sont donc correctes.