Andregradsfunksjon

En andregradsfunksjon er en funksjon som kan skrives med funksjonsuttrykket f(x) = ax² + bx + c, der a, b, c er reelle tall og dessuten a ≠ 0. På samme måte som en lineær funksjon alltid har en rett linje som graf, har en andregradsfunksjon alltid en parabel som graf.

Eksempel på en andregradsfunksjon

Et eksempel på en enkel andregradsfunksjon er f(x) = x² + 3x − 7. Grafen til denne funksjonen ser slik ut:

Skjematisk kan vi skrive andregradsfunksjonen som ax² + bx + c. Leddet ax² kalles andregradsleddet, og det må hver andregradsfunksjon ha. Det neste leddet bx kalles førstegradsleddet, og det trenger ikke være med i andregradsfunksjonen, for det kan være null. Funksjonen f(x) = 5x² + 7 er for eksempel fortsatt en andregradsfunksjon. Det siste leddet c kalles konstantleddet, og det er heller ikke obligatorisk. For funksjonen f(x) = x² + 3x − 7 gjelder dermed

$$a=1,b=3,c=-7$$

Hvorfor er a lik én? Fordi skrivemåten x² egentlig betyr 1 · x², derfor a = 1.

Egenskaper ved andregradsfunksjonen

Vi begynner med definisjonsmengden: definisjonsmengden til en andregradsfunksjon er ℝ, mengden av reelle tall. Verdimengden avhenger av den konkrete funksjonen, men den går alltid mot (pluss eller minus) uendelig. En andregradsfunksjon er videre alltid strengt voksende på den ene siden av toppunktet og strengt avtagende på den andre. Hvis førstegradsleddet er lik null (b = 0), er andregradsfunksjonen like. En andregradsfunksjon er aldri injektiv.

Begrensning oppad eller nedad

En andregradsfunksjon er alltid enten oppad eller nedad begrenset. Det avhenger bare av parameteren a. Hvis parameteren a er positiv, «vokser» grafen oppover, grafen ser ut som bokstaven «U», og grafen er dermed nedad begrenset. Et eksempel er funksjonen f(x) = 2x² med grafen:

Vi ser at alle funksjonsverdiene (alle de røde punktene) ligger over tallet −1, så funksjonen er nedad begrenset. Hvis vi hadde funksjonen f(x) = −2x²:

ville alle funksjonsverdiene ligge under tallet 1, og funksjonen ville være oppad begrenset.

Konveksitet og konkavitet

Konveksitet og konkavitet avhenger igjen av parameteren a. En andregradsfunksjon er konveks hvis den har form som bokstaven «U» (grafen vender den hule siden opp), og den er konkav hvis den har form som en «U» som er snudd opp ned (grafen vender den hule siden ned). Hvis a > 0, er grafen altså konveks, og hvis a < 0, er grafen konkav.

Parameteren a påvirker også om grafen blir smal eller bred. Jo nærmere null verdien kommer, desto bredere blir grafen, og omvendt.

Skjæringspunkter med x-aksen og y-aksen

Hvis vi vil regne ut skjæringspunktene til funksjonen med x-aksen eller y-aksen, setter vi bare opp en enkel likning og løser den. Vi må bare huske at vi kan skrive funksjonen på formen y = ax² + bx + c, og det betyr at vi finner y-koordinaten i punktet x = 2 ved å sette inn to for alle x.

For funksjonen y = x² − 4x + 3 ville det for eksempel gjelde at vi i punktet x = 2 får y-koordinaten 2² − 4 · 2 + 3 = −1. Grafen går altså helt sikkert gjennom punktet (2, −1). Hvis vi vil regne ut skjæringspunktene med x-aksen, er vi egentlig interessert i x-verdien når y = 0. Skjæringspunktet med x-aksen har alltid y-koordinaten 0, se på følgende graf, så blir det klart.

Derfor setter vi i uttrykket y = x² − 4x + 3 bare inn null for y og løser likningen. Løsningene er x-koordinatene til skjæringspunktene.

$$x^2-4x+3=0$$

Det er en andregradslikning, som vi kan løse med standardmetoder. Vi kan for eksempel faktorisere den til (x − 1) · (x − 3), og av det finner vi at løsningene er x₁ = 1 og x₂ = 3.

Hvis vi vil finne skjæringspunktet med y-aksen, går vi fram på samme måte. Vi tar uttrykket y = x² − 4x + 3 og setter denne gangen inn null for x. Egentlig spør vi hva funksjonsverdien til funksjonen er i punktet x = 0:

$$0^2-4\cdot 0+3=3$$

Skjæringspunktene med x-aksen er altså (1, 0) og (3, 0), og med y-aksen (0, 3).

Hvordan du regner ut koordinatene til toppunktet

For en andregradsfunksjon er det også veldig viktig å bestemme toppunktet (eller bunnpunktet). For at du ikke skal måtte huske en ganske komplisert formel, viser vi en annen måte, som bruker kvadratkomplettering. Toppunktet til en andregradsfunksjon er punktet der funksjonen har sitt minimum eller maksimum. Funksjonen f(x) = x² − 4x + 3, med denne grafen:

har toppunktet (her egentlig bunnpunktet) i punktet (2, −1).

Den generelle formen til en andregradsfunksjon ser slik ut: f(x) = ax² + bx + c. Vi skriver denne funksjonen for a = 1 om til toppunktformen g(x) = (x + m)² + n, der (−m, n) er toppunktet til andregradsfunksjonen. For funksjonen vår vil vi altså få formen (x − 2)² − 1. Hvordan får vi denne formen?

Først skriver vi bare parentesen: (x + m), og for m setter vi inn halvparten av parameteren b i andregradsfunksjonen. Parameteren b er lik minus fire, halvparten er altså lik minus to, så vi får denne skrivemåten: (x − 2)².

Nå er det andre steg, vi må trekke fra de overskytende leddene. Hvis du ganget ut denne parentesen, ville du ikke fått riktig resultat, vi ville ikke fått den opprinnelige funksjonen. Fra parentesen må vi også trekke fra andre potens av m og legge til parameteren c fra den opprinnelige funksjonen.

Helt konkret trekker vi (−2)² fra parentesen og legger til tre (parameteren c):

$$(x-2{)}^2-4+3$$

Etter forenkling får vi

$$(x-2{)}^2-1,$$

som er det endelige resultatet. Siden funksjonen har formen (x + m)² + n med m = −2, n = −1, vet vi at toppunktet har koordinatene (−m, n), altså (2, −1).

Vi bør også kontrollere at vi har regnet riktig. Vi har bare skrevet om andregradsfunksjonen x² − 4x + 3 til formen (x − 2)² − 1. Den nye formen skal beskrive den samme funksjonen, så hvis vi ganger ut parentesen, bør vi få den opprinnelige formen til funksjonen. Vi prøver å gange ut (x − 2)² − 1.

$$\begin{array}{rcl}(x-2{)}^2-1& =& (x-2)\cdot (x-2)-1\\ & =& x^2-4x+4-1\\ & =& x^2-4x+3\end{array}$$

Vi ser at vi fikk den samme funksjonen, så omformingene var riktige.