Funzione quadratica
Una funzione quadratica è una funzione che si può scrivere come f(x) = ax2 + bx + c, dove a, b, c sono numeri reali e inoltre a ≠ 0. Come la funzione lineare è sempre rappresentata da una retta, così la funzione quadratica è sempre rappresentata da una parabola.
Esempio di funzione quadratica
Un esempio di funzione quadratica semplice è f(x) = x2 + 3x − 7. Il suo grafico ha questo aspetto:
Possiamo scrivere la funzione quadratica in forma generale come ax2 + bx + c. Il termine ax2 si chiama termine di secondo grado e ogni funzione quadratica deve averlo. Il termine successivo, bx, si chiama termine di primo grado e in una funzione quadratica può mancare, cioè può essere nullo. Per esempio, anche la funzione f(x) = 5x2 + 7 è una funzione quadratica. L’ultimo termine, c, si chiama termine noto e anch’esso può mancare. Per la funzione f(x) = x2 + 3x − 7 vale quindi
Perché a è uguale a uno? Perché scrivere x2 significa in realtà 1 · x2, quindi a = 1.
Proprietà della funzione quadratica
Cominciamo dal dominio: il dominio di una funzione quadratica è ℝ, l’insieme dei numeri reali; l’insieme immagine dipende dalla funzione specifica, ma arriva sempre fino a (più o meno) infinito. Inoltre la funzione quadratica è sempre crescente da una parte del vertice e decrescente dall’altra. Se il termine di primo grado è uguale a zero (b = 0), la funzione quadratica è pari. La funzione quadratica non è mai una funzione iniettiva.
Limitatezza superiore o inferiore
La funzione quadratica è sempre limitata o superiormente o inferiormente. Dipende solo dal parametro a. Se infatti il parametro a è positivo, il grafico della funzione «cresce verso l’alto», ha la forma della lettera «U» ed è quindi limitato inferiormente. Un esempio è la funzione f(x) = 2x2 con il grafico:
Vediamo che tutti i valori della funzione (tutti i punti rossi) sono sopra il numero −1, quindi la funzione è limitata inferiormente. Se invece avessimo la funzione f(x) = −2x2:
allora tutti i valori della funzione sarebbero sotto il numero 1, quindi la funzione sarebbe limitata superiormente.
Convessità e concavità
Convessità e concavità dipendono ancora dal parametro a. La funzione quadratica è convessa (ha la concavità rivolta verso l’alto) se ha la forma della lettera «U», ed è concava (concavità rivolta verso il basso) se ha la forma della «U» rovesciata. Quindi se a > 0 il grafico è convesso, mentre se a < 0 il grafico è concavo.
Il parametro a influisce inoltre sul fatto che il grafico sia stretto o largo. Più questo parametro è vicino a zero, più il grafico è largo, e viceversa.
Intersezioni con gli assi x e y
Se vogliamo calcolare le intersezioni della funzione con l’asse x o con l’asse y, basta impostare una semplice equazione e poi risolverla. Dobbiamo solo ricordare che la funzione si può scrivere nella forma y = ax2 + bx + c, il che significa che l’ordinata nel punto x = 2 si trova sostituendo il due al posto di ogni x.
Per esempio, per la funzione y = x2 − 4x + 3 nel punto x = 2 otteniamo l’ordinata 22 − 4 · 2 + 3 = −1. Il grafico della funzione passa quindi sicuramente per il punto (2; −1). Se vogliamo calcolare le intersezioni con l’asse x, ci interessa il valore di x nel momento in cui vale y = 0. L’intersezione con l’asse x ha sempre ordinata 0: guarda il grafico seguente e ti sarà chiaro.
Perciò nell’espressione y = x2 − 4x + 3 sostituiamo a y lo zero e risolviamo l’equazione. Le radici che otteniamo sono le ascisse delle intersezioni.
Questa è un’equazione di secondo grado, che possiamo risolvere con i metodi standard. Possiamo per esempio scomporla nella forma fattorizzata (x − 1) · (x − 3), da cui ricaviamo che le radici sono x1 = 1 e x2 = 3.
Per ottenere le intersezioni con l’asse y procediamo allo stesso modo. Prendiamo l’espressione y = x2 − 4x + 3 e questa volta sostituiamo lo zero al posto di x. In sostanza ci chiediamo quale sia il valore della funzione nel punto x = 0:
Le intersezioni con l’asse x sono quindi (1; 0) e (3; 0), mentre quella con l’asse y è (0; 3).
Come calcolare le coordinate del vertice
Per una funzione quadratica è molto importante anche determinare il vertice. Perché tu non debba ricordare una formula piuttosto complicata, ti mostriamo un altro metodo, che usa il completamento del quadrato. Il vertice di una funzione quadratica è il punto in cui la funzione ha il minimo o il massimo. La funzione f(x) = x2 − 4x + 3, il cui grafico è questo:
ha il vertice nel punto (2; −1).
La scrittura standard della funzione quadratica è f(x) = ax2 + bx + c. Noi trasformiamo questa funzione, per a = 1, nella forma g(x) = (x + m)2 + n, dove (−m; n) è il vertice della funzione quadratica. Per la nostra funzione vogliamo quindi ottenere la forma (x − 2)2 − 1. Come arriviamo a questa forma?
Per prima cosa scriviamo solo la parentesi: (x + m) e al posto di m mettiamo la metà del parametro b della funzione quadratica. Il parametro b è uguale a meno quattro, la metà è quindi meno due, e otteniamo questa scrittura: (x − 2)2.
Ora tocca al secondo passo: dobbiamo sottrarre i termini in eccesso. Se sviluppassimo questa parentesi, non otterremmo il risultato giusto, cioè non troveremmo la funzione di partenza. Dalla parentesi bisogna ancora sottrarre il quadrato di m e aggiungere il parametro c della funzione originale.
Concretamente, dalla parentesi sottraiamo (−2)2 e aggiungiamo tre (il parametro c):
Dopo la semplificazione otteniamo
che è il risultato finale. Poiché la funzione è nella forma (x + m)2 + n, con m = −2, n = −1, sappiamo che il vertice ha coordinate (−m; n), cioè (2; −1).
Dobbiamo ancora controllare di aver calcolato correttamente. Abbiamo solo trasformato la funzione quadratica x2 − 4x + 3 nella forma (x − 2)2 − 1. Questa nuova forma però dovrebbe descrivere la stessa funzione, quindi se sviluppiamo la parentesi dovremmo ottenere la forma originale. Proviamo a sviluppare (x − 2)2 − 1.
Vediamo che abbiamo ottenuto la stessa funzione, quindi i passaggi sono corretti.
