Quadratische Funktion

Eine quadratische Funktion ist eine Funktion, die sich durch die Funktionsgleichung f(x) = ax² + bx + c darstellen lässt, wobei a, b, c reelle Zahlen sind und außerdem a ≠ 0 gilt. So wie eine lineare Funktion immer durch eine Gerade beschrieben wird, wird eine quadratische Funktion immer durch eine Parabel beschrieben.

Beispiel einer quadratischen Funktion

Ein Beispiel für eine einfache quadratische Funktion ist f(x) = x² + 3x − 7. Der Graph dieser Funktion sieht so aus:

Eine quadratische Funktion könnten wir schematisch als ax² + bx + c schreiben. Das Glied ax² heißt quadratisches Glied, und dieses Glied muss jede quadratische Funktion haben. Das nächste Glied bx heißt lineares Glied und muss in einer quadratischen Funktion nicht vorkommen – es kann null sein. Zum Beispiel ist auch die Funktion f(x) = 5x² + 7 eine quadratische Funktion. Das letzte Glied c heißt absolutes Glied und ist ebenfalls nicht zwingend erforderlich. Für die Funktion f(x) = x² + 3x − 7 gilt also

$$a=1,b=3,c=-7$$

Warum ist a gleich eins? Die Schreibweise x² bedeutet eigentlich 1 · x², deshalb ist a = 1.

Eigenschaften der quadratischen Funktion

Wir beginnen mit der Definitionsmenge: Die Definitionsmenge einer quadratischen Funktion ist ℝ, die Menge der reellen Zahlen. Die Wertemenge hängt von der konkreten Funktion ab, reicht aber immer bis (plus oder minus) unendlich. Außerdem ist eine quadratische Funktion auf der einen Seite des Scheitelpunkts immer streng monoton steigend und auf der anderen streng monoton fallend. Wenn das lineare Glied gleich null ist (b = 0), ist die quadratische Funktion gerade. Eine quadratische Funktion ist niemals umkehrbar (injektiv).

Beschränktheit nach oben oder unten

Eine quadratische Funktion ist immer entweder nach oben oder nach unten beschränkt. Das hängt nur vom Parameter a ab. Ist der Parameter a nämlich positiv, dann „wächst der Graph der Funktion nach oben“, er sieht aus wie der Buchstabe „U“ und ist somit nach unten beschränkt. Ein Beispiel ist die Funktion f(x) = 2x² mit dem Graphen:

Wir sehen, dass alle Funktionswerte (alle roten Punkte) über der Zahl −1 liegen, die Funktion ist also nach unten beschränkt. Hätten wir die Funktion f(x) = −2x²:

dann lägen wiederum alle Funktionswerte unter der Zahl 1, die Funktion wäre also nach oben beschränkt.

Konvexität und Konkavität

Konvexität und Konkavität hängen wieder vom Parameter a ab. Eine quadratische Funktion ist konvex, wenn sie die Form des Buchstabens „U“ hat, und konkav, wenn sie die Form eines umgekehrten „U“ hat. Wenn also a > 0 ist, ist der Graph konvex, und wenn a < 0 ist, ist der Graph konkav.

Der Parameter a beeinflusst außerdem, ob der Graph schmal oder breit wird. Je näher der Wert bei null liegt, desto breiter ist der Graph, und umgekehrt.

Schnittpunkte mit der x-Achse und der y-Achse

Wenn wir die Schnittpunkte der Funktion mit der x-Achse oder der y-Achse berechnen wollen, stellen wir nur eine einfache Gleichung auf und lösen sie. Wir müssen uns nur klarmachen, dass wir die Funktion in der Form y = ax² + bx + c schreiben können. Das bedeutet, dass wir die y-Koordinate an der Stelle x = 2 erhalten, indem wir für jedes x die Zahl zwei einsetzen.

Für die Funktion y = x² − 4x + 3 erhalten wir zum Beispiel an der Stelle x = 2 die y-Koordinate 2² − 4 · 2 + 3 = −1. Der Graph der Funktion geht also sicher durch den Punkt (2 ∣ −1). Wenn wir die Schnittpunkte mit der x-Achse berechnen wollen, interessiert uns eigentlich der x-Wert, für den y = 0 gilt. Ein Schnittpunkt mit der x-Achse hat immer die y-Koordinate 0. Sieh dir den folgenden Graphen an, dann wird dir das klar.

Deshalb setzen wir in der Gleichung y = x² − 4x + 3 für y einfach null ein und lösen die Gleichung. Die Lösungen sind dann die x-Koordinaten der Schnittpunkte.

$$x^2-4x+3=0$$

Das ist eine quadratische Gleichung, die wir mit den üblichen Verfahren lösen können. Wir können sie zum Beispiel in die Linearfaktorform (x − 1) · (x − 3) zerlegen, woraus wir erkennen, dass die Lösungen x₁ = 1 und x₂ = 3 sind.

Wenn wir die Schnittpunkte mit der y-Achse bestimmen wollen, gehen wir genauso vor. Wir nehmen die Gleichung y = x² − 4x + 3 und setzen diesmal für x null ein. Im Grunde fragen wir, wie groß der Funktionswert der Funktion an der Stelle x = 0 ist:

$$0^2-4\cdot 0+3=3$$

Die Schnittpunkte mit der x-Achse sind also (1 ∣ 0) und (3 ∣ 0) und der Schnittpunkt mit der y-Achse ist (0 ∣ 3).

So berechnest du die Koordinaten des Scheitelpunkts

Bei einer quadratischen Funktion ist es außerdem sehr wichtig, ihren Scheitelpunkt zu bestimmen. Damit du dir nicht die ziemlich komplizierte Formel merken musst, zeigen wir dir ein anderes Verfahren, das die Methode der quadratischen Ergänzung nutzt. Der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion ist der Punkt, an dem die Funktion ihr Minimum oder Maximum hat. Die Funktion f(x) = x² − 4x + 3, deren Graph so aussieht:

hat den Scheitelpunkt (2 ∣ −1).

Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion lautet: f(x) = ax² + bx + c. Für a = 1 formen wir diese Funktion in die Form g(x) = (x + m)² + n um, wobei (−m ∣ n) der Scheitelpunkt der quadratischen Funktion ist. Für unsere Funktion wollen wir also die Form (x − 2)² − 1 erhalten. Wie kommen wir zu dieser Form?

Zuerst schreiben wir nur die Klammer hin: (x + m), und für m setzen wir den halben Wert des Parameters b der quadratischen Funktion ein. Der Parameter b ist gleich minus vier, die Hälfte ist also minus zwei, und wir erhalten diese Schreibweise: (x − 2)².

Jetzt ist der zweite Schritt an der Reihe: Wir müssen die überzähligen Summanden abziehen. Würdest du diese Klammer ausmultiplizieren, käme nicht das richtige Ergebnis heraus, wir würden nicht die ursprüngliche Funktion erhalten. Von der Klammer muss noch das Quadrat von m abgezogen und der Parameter c der ursprünglichen Funktion addiert werden.

Konkret ziehen wir also von der Klammer (−2)² ab und addieren drei (den Parameter c):

$$(x-2{)}^2-4+3$$

Nach der Vereinfachung erhalten wir

$$(x-2{)}^2-1,$$

und das ist das Endergebnis. Da die Funktion die Form (x + m)² + n hat, wobei m = −2, n = −1 ist, wissen wir, dass der Scheitelpunkt die Koordinaten (−m ∣ n) hat, also (2 ∣ −1).

Wir sollten noch eine Probe machen, ob wir richtig gerechnet haben. Wir haben die quadratische Funktion x² − 4x + 3 nur in die Form (x − 2)² − 1 umgeformt. Diese neue Form sollte aber dieselbe Funktion beschreiben. Wenn wir die Klammer ausmultiplizieren, müssten wir also die ursprüngliche Form der Funktion erhalten. Wir multiplizieren also (x − 2)² − 1 aus.

$$\begin{array}{rcl}(x-2{)}^2-1& =& (x-2)\cdot (x-2)-1\\ & =& x^2-4x+4-1\\ & =& x^2-4x+3\end{array}$$

Wir sehen, dass wir dieselbe Funktion erhalten haben, die Umformungen waren also richtig.