Acoperirea liniară

Dacă avem o mulțime de vectori și calculăm toate combinațiile lor liniare, obținem acoperirea liniară a acestei mulțimi de vectori, adică subspațiul generat de ea.

Definiția acoperirii liniare

Fie vectorii x₁, …, x_n. Știm deja că din acești vectori putem construi un vector nou cu ajutorul unei combinații liniare. Alegem numerele reale a₁, …, a_n, iar vectorul nou y îl obținem prin înmulțire și adunare

$$\mathbf{y}=a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n$$

În acest fel, dacă cel puțin unul dintre vectorii x_i este diferit de vectorul nul, putem produce din mulțimea de vectori x₁, …, x_n o infinitate de vectori „noi” – ajunge să alegem în mod potrivit alți coeficienți a₁, …, a_n.

Dacă vom genera tot mai mulți vectori, vom obține în cele din urmă toți vectorii pe care îi putem obține prin combinații liniare ale vectorilor x₁, …, x_n. O astfel de mulțime o numim acoperirea liniară a vectorilor x₁, …, x_n. Acoperirea liniară a unei mulțimi de vectori X o notăm cu paranteze unghiulare: ⟨X⟩. Formal, am putea scrie acoperirea liniară astfel

$$⟨{\mathbf{x}}_1,\dots ,{\mathbf{x}}_n⟩=\{a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n|a_1,\dots ,a_n\in \mathbb{R}\},$$

dacă avem un număr finit de vectori. Dacă avem o mulțime infinită de vectori X, putem lua toate submulțimile finite Y_i ⊆ X, adică |Y_i| = r pentru un anumit r ∈ ℕ, iar acoperirea liniară a mulțimii X ar fi atunci reuniunea tuturor mulțimilor ⟨Y_i⟩.

Exemplu

Rămânem la îndrăgitul spațiu vectorial ℝ³. Alegem mulțimea cu un singur element X₁ = {(1, 2, 1)} și ne întrebăm care este acoperirea liniară a acestei mulțimi. Sunt toate combinațiile liniare ale vectorului (1, 2, 1). Acoperirea rezultată va avea forma

$$⟨X_1⟩=\{(a,2a,a)|a\in \mathbb{R}\}$$

Vor fi deci vectori de forma (3, 6, 3),(8, 16, 8),(−1, −2, −1) etc. Putem încerca să verificăm că suma a doi dintre acești vectori ne dă un vector nou de aceeași formă:

$$\begin{array}{rcl}(3,6,3)+(3,6,3)& =& (6,12,6)\\ (3,6,3)+(-1,-2,-1)& =& (2,4,2)\\ (8,16,8)+(2,4,2)& =& (10,20,10)\end{array}$$

Un al doilea exemplu îl pot constitui vectorii clasici X₂ = {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}. Dacă calculăm toate combinațiile liniare, vedem că au forma (a, b, 0), unde a, b ∈ ℝ. Se poate arăta simplu, deoarece

$$(a,b,0)=a\cdot (1,0,0)+b\cdot (0,1,0).$$

Vectorii acestei acoperiri sunt astfel, de exemplu, (0, 8, 0), (14, 15, 0) etc. Formal am scrie astfel:

$$⟨X_2⟩=\{(a,b,0)|a,b\in \mathbb{R}\}$$

Acoperirea liniară ca cel mai mic subspațiu

Fie un spațiu vectorial V și o mulțime de vectori X ⊆ V. Acoperirea liniară ⟨X⟩ este atunci un subspațiu vectorial al lui V, adică acoperirea ⟨X⟩ este un spațiu vectorial.

Este suficient să demonstrăm că acoperirea ⟨X⟩ este închisă la adunare și la înmulțire. Cu siguranță este, deoarece orice vector x ∈ ⟨X⟩ a apărut ca o combinație liniară a vectorilor din X.

Acoperirea liniară a mulțimii X este totodată cel mai mic subspațiu care conține toți vectorii din mulțimea X. De ce? Cel mai mic subspațiu vectorial care conține vectorii din X trebuie să conțină și toate combinațiile liniare ale vectorilor din X – altfel nu ar fi un spațiu vectorial. Putem presupune prin reducere la absurd că există un subspațiu vectorial mai mic, să-l notăm Y, care conține toți vectorii din X, adică X ⊆ Y. Deoarece, conform presupunerii, Y este mai mic decât acoperirea ⟨X⟩, trebuie să existe un vector x care se află în ⟨X⟩, dar nu se află în Y, adică x ∈ ⟨X⟩ ∧ x ∉ Y.

Însă vectorul x trebuie să poată fi construit ca o combinație liniară a vectorilor din X, deci trebuie să existe vectorii x₁, …, x_n ∈ X și coeficienții a₁, …, a_n astfel încât

$$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n$$

Dacă însă Y nu conține acest vector x, deși conține vectorii x₁, …, x_n, atunci Y nu poate fi spațiu vectorial și, prin urmare, nici subspațiu. Acoperirea ⟨X⟩ este deci cel mai mic subspațiu care conține toți vectorii din X.

Proprietăți de bază ale acoperirii liniare

• Avem întotdeauna W ⊆ ⟨W⟩. Ar trebui să fie clar. Acoperirea liniară a mulțimii W va fi întotdeauna egală cu mulțimea W sau mai mare decât ea. Deoarece acoperirea liniară ⟨W⟩ conține toate combinațiile liniare ale vectorilor din W, ⟨W⟩ trebuie să conțină și toți vectorii din W, pentru că, dacă luăm un vector x ∈ W, pentru a = 1 obținem combinația a · x = x.

  Exemplu: acoperirea liniară a mulțimii W = {(1, 0, 0)} este mulțimea

  $$\begin{array}{rcl}⟨W⟩& =& \{(a,0,0)|a\in \mathbb{R}\}.\end{array}$$

  Evident avem {(1, 0, 0)} ⊆ {(a,0, 0) | a ∈ ℝ}.

• Avem întotdeauna ⟨W⟩ = ⟨⟨W⟩⟩. Dacă am calculat o dată acoperirea liniară, acoperirea liniară a acestei acoperiri este aceeași acoperire. ⟨W⟩ conține toate combinațiile liniare din W. Dacă am calcula din nou toate combinațiile liniare din ⟨W⟩, nu am obține niciuna nouă.

• Fie un spațiu vectorial V și două submulțimi ale acestui spațiu (nu neapărat subspații) W₁ și W₂, adică W₁, W₂ ⊆ V. Dacă totodată W₁ ⊆ W₂, atunci avem și ⟨W₁⟩ ⊆ ⟨W₂⟩.

  Altfel spus: dacă avem două mulțimi de vectori, dintre care una este mai mică, atunci această mulțime mai mică de vectori are o acoperire liniară mai mică sau egală cu cea a mulțimii mai mari.

  Exemplu: fie W₁ = {(1, 0, 0)} și W₂ = {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}. Vedem că W₁ ⊆ W₂. Cum ar fi acoperirile liniare?

  $$\begin{array}{rcl}⟨W_1⟩& =& \{(a,0,0)|a\in \mathbb{R}\}\\ ⟨W_2⟩& =& \{(a,b,0)|a,b\in \mathbb{R}\}\end{array}$$

  Mulțimea de vectori W₂ a „generat o acoperire mai mare” decât mulțimea W₁, așa cum ne așteptam. Mulțimea W₂ conține toți vectorii din mulțimea W₁, deci toate combinațiile liniare ale vectorilor din W₁ se pot genera totodată din vectorii din W₂.

  Alt exemplu: W₃ = {(1, 2, 0)} și W₄ = {(1, 2, 0), (5, 10, 0)}. La prima vedere se observă că vectorii din W₄ sunt dependenți. De aceea ambele mulțimi generează aceeași acoperire. Așadar, deși W₃ ⊂ W₄, avem ⟨W₃⟩ = ⟨W₄⟩.