Subespacio generado

Si tenemos un conjunto de vectores y calculamos todas sus combinaciones lineales, obtenemos el subespacio generado por ese conjunto de vectores.

Definición de subespacio generado

Sean x₁, …, x_n unos vectores. Ya sabemos que con ellos podemos construir un vector nuevo mediante una combinación lineal. Elegimos los números reales a₁, …, a_n y obtenemos el vector nuevo y multiplicando y sumando

$$\mathbf{y}=a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n$$

De esta manera, si al menos uno de los vectores x_i es distinto del vector nulo, a partir del conjunto de vectores x₁, …, x_n podemos fabricar infinitos vectores «nuevos»: basta elegir de forma adecuada otros coeficientes a₁, …, a_n.

Si seguimos generando vectores una y otra vez, acabaremos obteniendo todos los vectores que se pueden conseguir mediante una combinación lineal de los vectores x₁, …, x_n. A ese conjunto lo llamamos subespacio generado por los vectores x₁, …, x_n. El subespacio generado por un conjunto de vectores X lo denotamos con paréntesis angulares: ⟨X⟩. De manera formal, podríamos escribirlo así

$$⟨{\mathbf{x}}_1,\dots ,{\mathbf{x}}_n⟩=\{a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n\mid a_1,\dots ,a_n\in \mathbb{R}\},$$

si tenemos un número finito de vectores. Si tenemos un conjunto infinito de vectores X, podemos tomar todos los subconjuntos finitos Y_i ⊆ X, es decir, |Y_i| = r para algún r ∈ ℕ, y el subespacio generado por X sería entonces la unión de todos los conjuntos ⟨Y_i⟩.

Ejemplo

Seguimos con nuestro espacio vectorial favorito, ℝ³. Elegimos el conjunto de un solo elemento X₁ = {(1, 2, 1)} y nos preguntamos cuál es el subespacio generado por este conjunto. Son todas las combinaciones lineales del vector (1, 2, 1). El subespacio resultante tendrá la forma

$$⟨X_1⟩=\{(a,2a,a)\mid a\in \mathbb{R}\}$$

Serán, por tanto, vectores de la forma (3, 6, 3),(8, 16, 8),(−1, −2, −1), etc. Podemos comprobar que la suma de dos de ellos nos da un vector nuevo de la misma forma:

$$\begin{array}{rcl}(3,6,3)+(3,6,3)& =& (6,12,6)\\ (3,6,3)+(-1,-2,-1)& =& (2,4,2)\\ (8,16,8)+(2,4,2)& =& (10,20,10)\end{array}$$

Un segundo ejemplo son los vectores clásicos X₂ = {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}. Si calculamos todas las combinaciones lineales, veremos que tienen la forma (a, b, 0), donde a, b ∈ ℝ. Es fácil de demostrar, porque

$$(a,b,0)=a\cdot (1,0,0)+b\cdot (0,1,0).$$

Los vectores de este subespacio son, por ejemplo, (0, 8, 0), (14, 15, 0), etc. De manera formal lo escribiríamos así:

$$⟨X_2⟩=\{(a,b,0)\mid a,b\in \mathbb{R}\}$$

El subespacio generado como subespacio más pequeño

Sean un espacio vectorial V y un conjunto de vectores X ⊆ V. El subespacio generado ⟨X⟩ es entonces un subespacio vectorial de V, es decir, ⟨X⟩ es un espacio vectorial.

Nos basta demostrar que ⟨X⟩ es cerrado para la suma y la multiplicación. Y lo es sin duda, porque cualquier vector x ∈ ⟨X⟩ se obtuvo como combinación lineal de vectores de X.

El subespacio generado por el conjunto X es, además, el subespacio más pequeño que contiene todos los vectores del conjunto X. ¿Por qué? El subespacio vectorial más pequeño que contiene los vectores de X tiene que contener también todas las combinaciones lineales de vectores de X; si no, no sería un espacio vectorial. Podemos suponer por reducción al absurdo que existe un subespacio vectorial más pequeño, al que llamaremos Y, que contiene todos los vectores de X, es decir, X ⊆ Y. Como, por hipótesis, Y es más pequeño que ⟨X⟩, tiene que existir un vector x que está en ⟨X⟩ pero no está en Y, es decir, x ∈ ⟨X⟩ ∧ x ∉ Y.

Pero, al mismo tiempo, el vector x tiene que poder construirse como combinación lineal de vectores de X, así que tienen que existir vectores x₁, …, x_n ∈ X y coeficientes a₁, …, a_n tales que

$$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n$$

Ahora bien, si Y no contiene este vector x y, sin embargo, contiene los vectores x₁, …, x_n, entonces Y no puede ser un espacio vectorial y, por tanto, tampoco un subespacio. Así, ⟨X⟩ es el subespacio más pequeño que contiene todos los vectores de X.

Propiedades básicas del subespacio generado

• Siempre se cumple que W ⊆ ⟨W⟩. Debería estar claro. El subespacio generado por el conjunto W será siempre igual o mayor que el conjunto W. Como ⟨W⟩ contiene todas las combinaciones lineales de vectores de W, entonces ⟨W⟩ tiene que contener también todos los vectores de W, porque si tomamos un vector x ∈ W, para a = 1 obtenemos la combinación a · x = x.

  Ejemplo: el subespacio generado por el conjunto W = {(1, 0, 0)} es el conjunto

  $$\begin{array}{rcl}⟨W⟩& =& \{(a,0,0)\mid a\in \mathbb{R}\}.\end{array}$$

  Evidentemente, se cumple que {(1, 0, 0)} ⊆ {(a,0, 0)  ∣  a ∈ ℝ}.

• Siempre se cumple que ⟨W⟩ = ⟨⟨W⟩⟩. Si ya hemos calculado una vez el subespacio generado, el subespacio generado por este subespacio es el mismo. ⟨W⟩ contiene todas las combinaciones lineales de W. Si volviéramos a calcular todas las combinaciones lineales de ⟨W⟩, no obtendríamos ninguna nueva.

• Sea V un espacio vectorial y sean W₁ y W₂ dos subconjuntos de este espacio (no necesariamente subespacios), es decir, W₁, W₂ ⊆ V. Si además se cumple que W₁ ⊆ W₂, entonces también se cumple que ⟨W₁⟩ ⊆ ⟨W₂⟩.

  Dicho de otro modo: si tenemos dos conjuntos de vectores y uno de ellos es más pequeño, este conjunto más pequeño genera un subespacio menor o igual que el del conjunto más grande.

  Ejemplo: sean W₁ = {(1, 0, 0)} y W₂ = {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}. Vemos que se cumple W₁ ⊆ W₂. ¿Cómo serían los subespacios generados?

  $$\begin{array}{rcl}⟨W_1⟩& =& \{(a,0,0)\mid a\in \mathbb{R}\}\\ ⟨W_2⟩& =& \{(a,b,0)\mid a,b\in \mathbb{R}\}\end{array}$$

  El conjunto de vectores W₂ ha «generado un subespacio mayor» que el conjunto W₁, algo que esperábamos. El conjunto W₂ contiene todos los vectores del conjunto W₁, así que todas las combinaciones lineales de vectores de W₁ se pueden generar también a partir de los vectores de W₂.

  Otro ejemplo: W₃ = {(1, 2, 0)} y W₄ = {(1, 2, 0), (5, 10, 0)}. A simple vista se ve que los vectores de W₄ son dependientes. Por eso los dos conjuntos generan el mismo subespacio. Es decir, aunque W₃ ⊂ W₄, se cumple que ⟨W₃⟩ = ⟨W₄⟩.