Sous-espace engendré

Si l’on a une famille de vecteurs et que l’on calcule toutes leurs combinaisons linéaires, on obtient le sous-espace engendré par cette famille de vecteurs.

Définition du sous-espace engendré

Prenons des vecteurs x₁, …, x_n. On sait déjà que l’on peut fabriquer un nouveau vecteur à partir de ces vecteurs grâce à une combinaison linéaire. On choisit des nombres réels a₁, …, a_n et l’on obtient le nouveau vecteur y par multiplication et addition :

$$\mathbf{y}=a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n$$

Ainsi, si au moins un des vecteurs x_i est différent du vecteur nul, on peut fabriquer une infinité « d’autres » vecteurs à partir des vecteurs x₁, …, x_n : il suffit de choisir d’autres coefficients a₁, …, a_n de façon appropriée.

Si l’on continue à générer des vecteurs, on finit par obtenir tous les vecteurs que l’on peut obtenir par combinaison linéaire des vecteurs x₁, …, x_n. On appelle cet ensemble le sous-espace engendré par les vecteurs x₁, …, x_n. Le sous-espace engendré par une famille de vecteurs X se note Vect(X). Formellement, on peut l’écrire ainsi :

$$\mathrm{Vect}({\mathbf{x}}_1,\dots ,{\mathbf{x}}_n)=\{a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n\mid a_1,\dots ,a_n\in \mathbb{R}\},$$

si l’on a un nombre fini de vecteurs. Si l’on a un ensemble infini de vecteurs X, on peut prendre tous ses sous-ensembles finis Y_i ⊂ X, c’est-à-dire |Y_i| = r pour un certain r ∈ ℕ^*, et le sous-espace engendré par l’ensemble X est alors la réunion de tous les ensembles Vect(Y_i).

Exemple

Restons dans notre espace vectoriel préféré ℝ³. Choisissons l’ensemble à un seul élément X₁ = {(1 ; 2 ; 1)} et demandons-nous quel est le sous-espace engendré par cet ensemble. Ce sont toutes les combinaisons linéaires du vecteur (1 ; 2 ; 1). Le sous-espace obtenu est

$$\mathrm{Vect}(X_1)=\{(a;2a;a)\mid a\in \mathbb{R}\}$$

Ce sont donc les vecteurs de la forme (3 ; 6 ; 3),(8 ; 16 ; 8),(−1 ; −2 ; −1), etc. On peut vérifier que la somme de deux de ces vecteurs donne un nouveau vecteur de la même forme :

$$\begin{array}{rcl}(3;6;3)+(3;6;3)& =& (6;12;6)\\ (3;6;3)+(-1;-2;-1)& =& (2;4;2)\\ (8;16;8)+(2;4;2)& =& (10;20;10)\end{array}$$

Un deuxième exemple : les vecteurs classiques X₂ = {(1 ; 0 ; 0) ; (0 ; 1 ; 0)}. Si l’on calcule toutes les combinaisons linéaires, on constate qu’elles sont de la forme (a ; b ; 0), où a, b ∈ ℝ. C’est facile à montrer, car

$$(a;b;0)=a\cdot (1;0;0)+b\cdot (0;1;0).$$

Les vecteurs de ce sous-espace sont par exemple (0 ; 8 ; 0), (14 ; 15 ; 0), etc. Formellement, on l’écrirait ainsi :

$$\mathrm{Vect}(X_2)=\{(a;b;0)\mid a,b\in \mathbb{R}\}$$

Le sous-espace engendré, plus petit sous-espace

Prenons un espace vectoriel V et une famille de vecteurs X ⊂ V. Le sous-espace engendré Vect(X) est alors un sous-espace vectoriel de l’espace V, c’est-à-dire que Vect(X) est un espace vectoriel.

Il suffit de montrer que Vect(X) est stable par addition et par multiplication par un réel. C’est évident, car tout vecteur x ∈ Vect(X) est une combinaison linéaire de vecteurs de X.

Le sous-espace engendré par X est en même temps le plus petit sous-espace qui contient tous les vecteurs de X. Pourquoi ? Le plus petit sous-espace vectoriel contenant les vecteurs de X doit contenir aussi toutes les combinaisons linéaires de vecteurs de X, sinon ce ne serait pas un espace vectoriel. On peut supposer par l’absurde qu’il existe un sous-espace vectoriel plus petit, appelons-le Y, qui contient tous les vecteurs de X, c’est-à-dire X ⊂ Y. Comme Y est, par hypothèse, plus petit que Vect(X), il existe un vecteur x qui est dans Vect(X) mais pas dans Y, c’est-à-dire x ∈ Vect(X) ∧ x ∉ Y.

Or le vecteur x doit pouvoir s’écrire comme combinaison linéaire de vecteurs de X : il existe donc des vecteurs x₁, …, x_n ∈ X et des coefficients a₁, …, a_n tels que

$$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n$$

Mais si Y ne contient pas ce vecteur x alors qu’il contient les vecteurs x₁, …, x_n, alors Y ne peut pas être un espace vectoriel, ni donc un sous-espace. Le sous-espace engendré Vect(X) est donc le plus petit sous-espace qui contient tous les vecteurs de X.

Propriétés de base du sous-espace engendré

• On a toujours W ⊂ Vect(W). Cela devrait être clair : le sous-espace engendré par l’ensemble W est toujours égal à W ou plus grand que lui. Comme le sous-espace engendré Vect(W) contient toutes les combinaisons linéaires de vecteurs de W, Vect(W) doit contenir aussi tous les vecteurs de W, car si l’on prend un vecteur x ∈ W, alors, pour a = 1, on obtient la combinaison a · x = x.

  Exemple : le sous-espace engendré par l’ensemble W = {(1 ; 0 ; 0)} est l’ensemble

  $$\begin{array}{rcl}\mathrm{Vect}(W)& =& \left\{(a;0;0)\right|a\in \mathbb{R}\}.\end{array}$$

  On a bien $\left\{(1;0;0)\right\}\subset \left\{(a;0;0)\right|a\in \mathbb{R}\}$.

• On a toujours Vect(W) = Vect(Vect(W)). Une fois que l’on a calculé le sous-espace engendré, le sous-espace engendré par ce sous-espace est le même. Vect(W) contient toutes les combinaisons linéaires de W. Si l’on calculait de nouveau toutes les combinaisons linéaires de vecteurs de Vect(W), on n’obtiendrait rien de nouveau.

• Prenons un espace vectoriel V et deux sous-ensembles de cet espace (pas forcément des sous-espaces) W₁ et W₂, c’est-à-dire W₁, W₂ ⊂ V. Si l’on a en plus W₁ ⊂ W₂, alors Vect(W₁) ⊂ Vect(W₂).

  Autrement dit : si l’on a deux familles de vecteurs, dont l’une est plus petite que l’autre, alors la plus petite famille engendre un sous-espace plus petit ou égal à celui de la plus grande.

  Exemple : soit W₁ = {(1 ; 0 ; 0)} et W₂ = {(1 ; 0 ; 0) ; (0 ; 1 ; 0)}. On voit que W₁ ⊂ W₂. Quels sont les sous-espaces engendrés ?

  $$\begin{array}{rcl}\mathrm{Vect}(W_1)& =& \left\{(a;0;0)\right|a\in \mathbb{R}\}\\ \mathrm{Vect}(W_2)& =& \left\{(a;b;0)\right|a,b\in \mathbb{R}\}\end{array}$$

  La famille W₂ a « engendré un sous-espace plus grand » que la famille W₁, ce que l’on attendait. La famille W₂ contient tous les vecteurs de la famille W₁, donc toutes les combinaisons linéaires de vecteurs de W₁ peuvent aussi être obtenues à partir des vecteurs de W₂.

  Autre exemple : W₃ = {(1 ; 2 ; 0)} et W₄ = {(1 ; 2 ; 0) ; (5 ; 10 ; 0)}. On voit au premier coup d’œil que les vecteurs de W₄ sont liés. Les deux familles engendrent donc le même sous-espace. Ainsi, bien que W₃ ⊊ W₄, on a Vect(W₃) = Vect(W₄).