Doğrusal Germe

Elimizde bir vektör kümesi varsa ve bu vektörlerin bütün doğrusal birleşimlerini hesaplarsak, bu vektör kümesinin doğrusal germesini elde ederiz.

Doğrusal Germenin Tanımı

x₁, …, x_n vektörleri verilsin. Bu vektörlerden doğrusal birleşim yoluyla yeni bir vektör oluşturabileceğimizi zaten biliyoruz. Gerçek sayılar olan a₁, …, a_n sayılarını seçeriz ve yeni y vektörünü çarpıp toplayarak elde ederiz:

$$\mathbf{y}=a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n$$

x_i vektörlerinden en az biri sıfır vektöründen farklıysa bu yolla x₁, …, x_n vektör kümesinden sonsuz sayıda “başka” vektör üretebiliriz; yeter ki a₁, …, a_n katsayılarını uygun biçimde değiştirelim.

Vektör üretmeyi sürdürürsek sonunda x₁, …, x_n vektörlerinin doğrusal birleşimiyle elde edebileceğimiz bütün vektörlere ulaşırız. Bu kümeye x₁, …, x_n vektörlerinin doğrusal germesi diyoruz. X vektör kümesinin doğrusal germesini açılı parantezlerle göstereriz: ⟨X⟩. Vektörlerin sayısı sonluysa doğrusal germeyi biçimsel olarak şöyle yazabiliriz:

$$⟨{\mathbf{x}}_1,\dots ,{\mathbf{x}}_n⟩=\{a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n\mid a_1,\dots ,a_n\in \mathbb{R}\},$$

Sonsuz bir X vektör kümesi varsa X kümesinin bütün sonlu alt kümelerini, yani bir r ∈ ℤ⁺ için |Y_i| = r olacak biçimde Y_i ⊆ X kümelerini alabiliriz; X kümesinin doğrusal germesi de bütün ⟨Y_i⟩ kümelerinin birleşimi olur.

Örnek

Sık kullandığımız vektör uzayı ℝ³ ile devam edelim. Tek elemanlı X₁ = {(1, 2, 1)} kümesini seçelim ve bu kümenin doğrusal germesinin ne olduğunu soralım. Bunlar (1, 2, 1) vektörünün bütün doğrusal birleşimleridir. Ortaya çıkan germe şu biçimde olur:

$$⟨X_1⟩=\{[a,2a,a]\mid a\in \mathbb{R}\}$$

Yani bunlar (3, 6, 3),(8, 16, 8),(−1, −2, −1) vb. biçimindeki vektörlerdir. Bazı vektör çiftlerinin toplamının aynı biçimde yeni bir vektör verdiğini deneyerek doğrulayabiliriz:

$$\begin{array}{rcl}(3,6,3)+(3,6,3)& =& (6,12,6)\\ (3,6,3)+(-1,-2,-1)& =& (2,4,2)\\ (8,16,8)+(2,4,2)& =& (10,20,10)\end{array}$$

İkinci örnek olarak bildiğimiz vektörleri alalım: X₂ = {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}. Bütün doğrusal birleşimleri hesaplarsak bunların (a, b, 0) biçiminde olduğunu görürüz; burada a, b ∈ ℝ. Bunu kolayca gösterebiliriz, çünkü

$$[a,b,0]=a\cdot (1,0,0)+b\cdot (0,1,0).$$

Bu germenin vektörlerine örnek olarak (0, 8, 0), (14, 15, 0) vb. verilebilir. Biçimsel olarak şöyle yazarız:

$$⟨X_2⟩=\{[a,b,0]\mid a,b\in \mathbb{R}\}$$

Doğrusal Germe En Küçük Alt Uzay Olarak

V bir vektör uzayı ve X ⊆ V bir vektör kümesi olsun. O zaman ⟨X⟩ doğrusal germesi V uzayının bir vektör alt uzayıdır, yani ⟨X⟩ germesi bir vektör uzayıdır.

⟨X⟩ germesinin toplama ve çarpmaya göre kapalı olduğunu göstermek yeter. Bu kesinlikle doğrudur, çünkü x ∈ ⟨X⟩ olan her vektör, X kümesindeki vektörlerin doğrusal birleşimi olarak ortaya çıkmıştır.

X kümesinin doğrusal germesi aynı zamanda X kümesinin bütün vektörlerini içeren en küçük alt uzaydır. Neden? X kümesindeki vektörleri içeren en küçük vektör alt uzayı, X içindeki vektörlerin bütün doğrusal birleşimlerini de içermek zorundadır, yoksa vektör uzayı olmazdı. Çelişki ile ispat için şunu varsayalım: X kümesinin bütün vektörlerini içeren, yani X ⊆ Y olan daha küçük bir vektör alt uzayı vardır, ona Y diyelim. Varsayıma göre Y alt uzayı ⟨X⟩ germesinden küçük olduğundan, ⟨X⟩ içinde olup Y içinde olmayan bir x vektörü bulunmalıdır, yani x ∈ ⟨X⟩ ∧ x ∉ Y.

Oysa x vektörü X kümesindeki vektörlerin doğrusal birleşimi olarak kurulabilmelidir; yani öyle x₁, …, x_n ∈ X vektörleri ve a₁, …, a_n katsayıları bulunmalıdır ki

$$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n$$

olsun. Ama Y bu x vektörünü içermiyor, buna karşılık x₁, …, x_n vektörlerini içeriyorsa Y bir vektör uzayı olamaz, dolayısıyla alt uzay da olamaz. Demek ki ⟨X⟩ germesi, X kümesinin bütün vektörlerini içeren en küçük alt uzaydır.

Doğrusal Germenin Temel Özellikleri

• Her zaman W ⊆ ⟨W⟩ olur. Bu açık olmalı. W kümesinin doğrusal germesi her zaman W kümesine eşit ya da ondan büyük olur. ⟨W⟩ doğrusal germesi W içindeki vektörlerin bütün doğrusal birleşimlerini içerdiğinden W içindeki bütün vektörleri de içermek zorundadır: x ∈ W olan bir vektör alırsak a = 1 için a · x = x birleşimini elde ederiz.

  Örnek: W = {(1, 0, 0)} kümesinin doğrusal germesi şu kümedir:

  $$\begin{array}{rcl}⟨W⟩& =& \{[a,0,0]\mid a\in \mathbb{R}\}.\end{array}$$

  Açıkça {(1, 0, 0)} ⊆ {[a,0, 0]  ∣  a ∈ ℝ} olur.

• Her zaman ⟨W⟩ = ⟨⟨W⟩⟩ olur. Doğrusal germeyi bir kez hesapladıysak bu germenin doğrusal germesi de aynı germedir. ⟨W⟩ kümesi W içindeki vektörlerin bütün doğrusal birleşimlerini içerir. ⟨W⟩ içindeki vektörlerin bütün doğrusal birleşimlerini yeniden hesaplasaydık yeni hiçbir şey elde etmezdik.

• V bir vektör uzayı olsun ve bu uzayın (alt uzay olmaları gerekmeyen) iki alt kümesi W₁ ve W₂ verilsin, yani W₁, W₂ ⊆ V. Aynı zamanda W₁ ⊆ W₂ ise ⟨W₁⟩ ⊆ ⟨W₂⟩ de olur.

  Başka bir deyişle: iki vektör kümemiz varsa ve biri diğerinden küçükse, bu küçük vektör kümesinin doğrusal germesi büyük kümenin germesinden küçük ya da ona eşittir.

  Örnek: W₁ = {(1, 0, 0)} ve W₂ = {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} olsun. W₁ ⊆ W₂ olduğunu görüyoruz. Doğrusal germeler nasıl olurdu?

  $$\begin{array}{rcl}⟨W_1⟩& =& \{[a,0,0]\mid a\in \mathbb{R}\}\\ ⟨W_2⟩& =& \{[a,b,0]\mid a,b\in \mathbb{R}\}\end{array}$$

  W₂ vektör kümesi, W₁ kümesinden “daha büyük bir germe üretti”; beklediğimiz de buydu. W₂ kümesi W₁ kümesindeki bütün vektörleri içerdiği için W₁ vektörlerinin bütün doğrusal birleşimlerini W₂ içindeki vektörlerden de üretmek mümkün olur.

  Başka bir örnek: W₃ = {(1, 2, 0)} ve W₄ = {(1, 2, 0), (5, 10, 0)}. W₄ içindeki vektörlerin bağımlı olduğu ilk bakışta görülüyor. Bu yüzden iki küme de aynı germeyi üretir. Yani W₃ ⊂ W₄ olsa da ⟨W₃⟩ = ⟨W₄⟩ olur.